a, Để chứng minh 2n + 5 và 4n + 9 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n, ta sẽ sử dụng định lý Euclid.

Định lý Euclid: Nếu a và b là hai số nguyên tố cùng nhau và c là một số tự nhiên, thì a và b cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.

Giả sử 2n + 5 và 4n + 9 không là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n. Điều này có nghĩa là tồn tại một số tự nhiên n sao cho 2n + 5 và 4n + 9 có một ước chung lớn hơn 1.

Gọi d là ước chung lớn nhất của 2n + 5 và 4n + 9. Ta có:

2n + 5 = kd (với k là một số tự nhiên)
4n + 9 = ld (với l là một số tự nhiên)

Từ đó, ta có:

4(2n + 5) - 2(4n + 9) = 8n + 20 - 8n - 18 = 2

Vậy, d chia hết cho 2. Nhưng d cũng chia hết cho 2n + 5 và 4n + 9, nên d cũng chia hết cho 2n + 5 - 2(4n + 9) = -17.

Do đó, d chỉ có thể là 1 hoặc -17. Nhưng d không thể là -17 vì d là một ước chung của hai số nguyên dương 2n + 5 và 4n + 9.

Vậy, d = 1. Điều này có nghĩa là 2n + 5 và 4n + 9 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.

b, Để tìm số tự nhiên n biết (3n + 5) chia hết cho (2n + 1), ta sẽ sử dụng phương pháp chia dư.

Gọi k là số tự nhiên thỏa mãn (3n + 5) chia hết cho (2n + 1). Ta có:

3n + 5 = k(2n + 1)

Mở ngoặc và rút gọn, ta được:

3n + 5 = 2kn + k

Đưa các thành phần chứa n về cùng một vế và các thành phần không chứa n về cùng một vế, ta có:

3n - 2kn = k - 5

Rút gọn, ta có:

n(3 - 2k) = k - 5

Để phương trình trên đúng, ta cần n(3 - 2k) chia hết cho k - 5.

Vì k - 5 là một số tự nhiên, nên n(3 - 2k) cũng chia hết cho k - 5.

Do đó, ta cần tìm một số tự nhiên n sao cho n chia hết cho k - 5.

Vậy, để (3n + 5) chia hết cho (2n + 1), ta cần tìm một số tự nhiên n chia hết cho k - 5.