Để chứng minh tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi BC = AD, ta cần chứng minh hai phần:

1. Nếu ABCD là một hình bình hành, thì BC = AD.
2. Nếu BC = AD, thì ABCD là một hình bình hành.

Chứng minh:

1. Giả sử ABCD là một hình bình hành. Ta cần chứng minh BC = AD.
Vì ABCD là một hình bình hành, nên các cạnh đối diện của nó là song song và bằng nhau.
Do đó, ta có AB || CD và AB = CD.
Tương tự, ta có AD || BC và AD = BC.
Vì AB = CD và AD = BC, nên ta có BC = AD.
Vậy, nếu ABCD là một hình bình hành, thì BC = AD.

2. Giả sử BC = AD. Ta cần chứng minh ABCD là một hình bình hành.
Để chứng minh ABCD là một hình bình hành, ta cần chứng minh AB || CD và AD || BC.
Vì BC = AD, nên ta có AD || BC.
Ta cần chứng minh AB || CD.
Giả sử AB không song song với CD.
Khi đó, ta có hai trường hợp:

- Trường hợp 1: AB cắt CD tại một điểm E.
Khi đó, ta có tam giác AED và tam giác BEC là hai tam giác có cạnh chung AD và BC.
Vì AD = BC và AE = BE (vì AB = CD), nên theo nguyên lý cạnh bằng cạnh, ta có tam giác AED và tam giác BEC là hai tam giác đồng dạng.
Từ đó, ta có DE || BC (vì các góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng nhau).
Nhưng DE không thể song song với BC (vì DE cắt BC tại điểm E), điều này mâu thuẫn với giả thiết AD || BC.
Vậy, trường hợp này không xảy ra.

- Trường hợp 2: AB và CD giao nhau tại một điểm F.
Khi đó, ta có tam giác AFB và tam giác CFD là hai tam giác có cạnh chung AB và CD.
Vì AB = CD và AF = CF (vì AD = BC), nên theo nguyên lý cạnh bằng cạnh, ta có tam giác AFB và tam giác CFD là hai tam giác đồng dạng.
Từ đó, ta có AF || CD (vì các góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng nhau).
Nhưng AF không thể song song với CD (vì AF cắt CD tại điểm F), điều này mâu thuẫn với giả thiết AB || CD.
Vậy, trường hợp này không xảy ra.

Vì không có trường hợp nào xảy ra, nên giả thiết AB không thể không song song với CD.
Vậy, ta có AB || CD.
Từ đó, ta có AB || CD và AD || BC.
Vậy, ABCD là một hình bình hành.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu BC = AD, thì ABCD là một hình bình hành.

Vậy, tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi BC = AD.