a) Tứ giác APQD là hình bình hành. Vì AB = 2AD và P là trung điểm của AB, nên AP = PD. Tương tự, Q là trung điểm của CD, nên AQ = QD. Do đó, ta có AP = PD = AQ = QD, tứ giác APQD có các cạnh bằng nhau, là hình bình hành.
b) Ta có AP = PD và AQ = QD, nên APQD là hình bình hành. Gọi I là giao điểm của AQ và DP, K là giao điểm của BQ và CP. Ta cần chứng minh tứ giác IPKQ là hình chữ nhật. Ta có AP = PD và BQ = QC (do P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD), nên AP || BQ và PD || QC. Do đó, tứ giác IPKQ là hình chữ nhật.
c) Ta cần chứng minh IK = AD và IK || AB. Vì AP || BQ và AQ || DP, nên tứ giác APQD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của AD. Ta có PM || AB và QM || CD. Vì P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên PM = MQ = 1/2 CD = 1/2 AD. Vì I là giao điểm của AQ và DP, nên I nằm trên đường thẳng MQ và PM. Do đó, IM = 1/2 MQ = 1/4 AD. Vì K là giao điểm của BQ và CP, nên K nằm trên đường thẳng AB và CD. Do đó, AK = KB = 1/2 AB = 1/2 AD. Vậy, ta có IK = IM + MK = 1/4 AD + 1/2 AD = 3/4 AD = AD. Từ đó, ta có IK = AD và IK || AB. d) Để tứ giác IPKQ là hình vuông, ta cần thêm điều kiện là AB || CD (hình bình hành ABCD là hình chữ nhật).