a) Ta có tam giác ABC vuông cân tại A, nên ta có AB = AC = 6cm.

Gọi M là trung điểm của AC. Ta có BM = \(\frac{1}{2}\)BC.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên ta có BM = AM = \(\frac{1}{2}\)AC = 3cm.

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:

\(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 6^2 = 72\)

\(BC = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)cm.

b) Ta có tam giác ABC vuông cân tại A, nên ta có AB = AC = 6cm.

Gọi M là trung điểm của AC. Ta có BM = \(\frac{1}{2}\)BC.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên ta có BM = AM = \(\frac{1}{2}\)AC = 3cm.

Gọi N là trung điểm của BC. Ta có BN = \(\frac{1}{2}\)BD.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên ta có BN = AN = \(\frac{1}{2}\)AB = 3cm.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của C lên BC. Ta có:

\(CK = \frac{1}{2}BC = 3\sqrt{2}\)cm.

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:

\(AB^2 = AK^2 + BK^2\)

\(6^2 = CK^2 + BK^2\)

\(36 = (3\sqrt{2})^2 + BK^2\)

\(36 = 18 + BK^2\)

\(BK^2 = 18\)

\(BK = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)cm.

Gọi I là hình chiếu của C lên BD. Ta có:

\(BI = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}(2BN) = BN = 3\)cm.

Gọi H là hình chiếu của I lên AC. Ta có:

\(AH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(2AM) = AM = 3\)cm.

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông AHI, ta có:

\(HI^2 = AH^2 + AI^2\)

\(HI^2 = 3^2 + 3^2\)

\(HI^2 = 18\)

\(HI = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)cm.

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông BDI, ta có:

\(BD^2 = BI^2 + DI^2\)

\(BD^2 = 3^2 + DI^2\)

\(BD^2 - 9 = DI^2\)

\(DI^2 = BC^2 - BD^2 + 9\)

\(DI^2 = (6\sqrt{2})^2 - (2BN)^2 + 9\)

\(DI^2 = 72 - 36 + 9\)

\(DI^2 = 45\)

\(DI = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)cm.

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông BHI, ta có:

\(BH^2 = BI^2 + HI^2\)

\(BH^2 = 3^2 + (3\sqrt{2})^2\)

\(BH^2 = 9 + 18\)

\(BH^2 = 27\)

\(BH = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)cm.

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông BDI, ta có:

\(BD^2 = BI^2 + DI^2\)

\(BD^2 = 3^2 + (3\sqrt{5})^2\)

\(BD^2 = 9 + 45\)

\(BD^2 = 54\)

\(BD = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\)cm.

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông BHI, ta có:

\(BD^2 = BH^2 + HI^2\)

\(BD^2 = (3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2\)

\(BD^2 = 27 + 18\)

\(BD^2 = 45\)

\(BD = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)cm.

Vậy ta có: AD.IC = BD.HI.