Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD, H là hình chiếu của I trên AC

a) Ta có tam giác ABC vuông cân tại A, nên AB = AC. Vì trung tuyến BD, nên BD = AD.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2 = 2(6cm)^2 = 72cm^2
Vậy BC = √72 = 6√2 cm.

b) Ta có tam giác ABC vuông cân tại A, nên góc BAC = 45 độ.
Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên góc BCA = 45 độ.
Vậy tam giác BCA là tam giác vuông cân, nên góc BCD = 45 độ.
Vậy tam giác BCD cũng là tam giác vuông cân, nên BD = CD.
Vậy tam giác BCD là tam giác đều.

Gọi góc BCD = α, ta có góc BDC = 180 - 2α.
Vì tam giác BCD là tam giác đều, nên góc BDC = góc BCD = α.
Vậy 180 - 2α = α => 3α = 180 => α = 60.

Gọi góc BCI = β, ta có góc BIC = 180 - 2β.
Vì tam giác BCD là tam giác đều, nên góc BIC = góc BCI = β.
Vậy 180 - 2β = β => 3β = 180 => β = 60.

Vậy tam giác BCI cũng là tam giác đều, nên BC = CI.

Gọi góc BHI = γ, ta có góc BHI = góc BCI = β = 60.
Vậy tam giác BHI là tam giác đều, nên BH = HI.

Vậy tam giác BHD là tam giác đều.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BHD, ta có:
BD^2 = BH^2 + HD^2 = HI^2 + HD^2.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BCI, ta có:
BC^2 = BH^2 + HI^2.

Vậy BD^2 - BC^2 = HI^2 + HD^2 - BH^2 - HI^2 => BD^2 - BC^2 = HD^2 - BH^2.

Vì tam giác BCD là tam giác đều, nên BD = CD, nên BD^2 - BC^2 = 0.

Vậy HD^2 - BH^2 = 0 => HD^2 = BH^2.

Vậy AD.IC = BD.HI.

c) Ta có tam giác ABC vuông cân tại A, nên góc BAC = 45 độ.
Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên góc BCA = 45 độ.
Vậy tam giác BCA là tam giác vuông cân, nên góc BCD = 45 độ.
Vậy tam giác BCD cũng là tam giác vuông cân, nên BD = CD.
Vậy tam giác BCD là tam giác đều.

Gọi góc BCD = α, ta có góc BDC = 180 - 2α.
Vì tam giác BCD là tam giác đều, nên góc BDC = góc BCD = α.
Vậy 180 - 2α = α => 3α = 180 => α = 60.

Gọi góc BCI = β, ta có góc BIC = 180 - 2β.
Vì tam giác BCD là tam giác đều, nên góc BIC = góc BCI = β.
Vậy 180 - 2β = β => 3β = 180 => β = 60.

Vậy tam giác BCI cũng là tam giác đều, nên BC = CI.

Gọi góc BHI = γ, ta có góc BHI = góc BCI = β = 60.
Vậy tam giác BHI là tam giác đều, nên BH = HI.

Vậy tam giác BHD là tam giác đều.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BHD, ta có:
BD^2 = BH^2 + HD^2 = HI^2 + HD^2.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BCI, ta có:
BC^2 = BH^2 + HI^2.

Vậy BD^2 - BC^2 = HI^2 + HD^2 - BH^2 - HI^2 => BD^2 - BC^2 = HD^2 - BH^2.

Vì tam giác BCD là tam giác đều, nên BD = CD, nên BD^2 - BC^2 = 0.

Vậy HD^2 - BH^2 = 0 => HD^2 = BH^2.

Vậy AH = 3HI.