a) Ta có tam giác vuông ABC, với đường cao AH. Theo định lý Pythagoras, ta có:
AC^2 = AH^2 + HC^2
Với AH = 12cm và AB = 15cm, ta có:
AC^2 = 12^2 + HC^2
AC^2 = 144 + HC^2

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Do đó, góc HAC cũng bằng 90 độ. Khi đó, tam giác AHC cũng là tam giác vuông tại H. Vì vậy, ta có:
AC^2 = AH^2 + HC^2
AC^2 = 12^2 + HC^2
AC^2 = 144 + HC^2

b) Tính số đo góc C:
Trong tam giác ABC, góc C bằng góc vuông BAC. Vì vậy, góc C bằng 90 độ.

c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cát All kéo dài tại K. Tính CK:
Vì CK song song với AB, ta có tam giác ABC và tam giác ACK đồng dạng. Vì vậy, ta có tỉ lệ:
AC/AB = AK/AC
AC^2 = AB * AK
144 = 15 * AK
AK = 144/15
AK = 9.6 cm

Do đó, CK = AK = 9.6 cm.