Để chứng minh a, ta sẽ sử dụng định lí đồng dạng tam giác.

Vì M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB, nên ta có:
AM = MC và AN = NB.

Ta cũng có:
∠BMC = ∠BAC (cùng nằm trên cùng một cung BC)
∠BNC = ∠CAB (cùng nằm trên cùng một cung BC)

Vậy, theo định lí đồng dạng tam giác, ta có ΔBNC ≅ ΔCMB.

Để chứng minh b, ta sẽ sử dụng định lí thứ tự hai đường thẳng.

Vì BM và CN cắt nhau tại K, nên ta có:
∠BKC + ∠BKN + ∠CKM + ∠CKN = 180° (định lí thứ tự hai đường thẳng)

Vì AN = NB và AM = MC, nên ta có:
∠BKN = ∠CKM (cùng nằm trên cùng một cung BC)
∠CKN = ∠BKM (cùng nằm trên cùng một cung BC)

Vậy, ta có:
∠BKC + ∠BKN + ∠CKM + ∠CKN = ∠BKC + ∠BKM + ∠CKM + ∠BKM = 180°

Do đó, ΔBKC là tam giác có tổng các góc bằng 180°. Vì vậy, ta có KB = KC (vì ∠BKC là góc đối của cạnh BC).

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai điều cần chứng minh.