a) Ta có trung tuyến AD là đường cao của tam giác ABC, do đó AG = GD.
Gọi x = AB/AE, y = AC/AF. Khi đó, AE = AB/x và AF = AC/y.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng d qua G, ta có:
AG/GB * BD/DC * CE/EA = 1
Vì AG = GD, nên AG/GB = 1.
BD/DC = 1 (vì D là trung điểm của BC).
Thay AE = AB/x và AF = AC/y vào, ta có:
1 * 1 * CE/(AB/x) = 1
CE = AB/x
Tương tự, ta có:
CE = AC/y
Từ đó, ta có hệ phương trình:
AB/x = AC/y
AB/y = AC/x
Tổng 2 phương trình trên, ta được:
AB/x + AB/y = AC/x + AC/y
AB(AE + AF)/(AE * AF) = AC(AE + AF)/(AE * AF)
AB/AE + AB/AF = AC/AE + AC/AF
AB/AE + AC/AF = AB/AE + AC/AE = (AB + AC)/AE = 3
Vậy ta đã chứng minh được a).

b) Ta có trung tuyến AD là đường cao của tam giác ABC, do đó AG = GD.
Gọi x = BE/AE, y = CE/AF. Khi đó, AE = BE/x và AF = CE/y.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng d qua G, ta có:
AG/GB * BD/DC * CE/EA = 1
Vì AG = GD, nên AG/GB = 1.
BD/DC = 1 (vì D là trung điểm của BC).
Thay AE = BE/x và AF = CE/y vào, ta có:
1 * 1 * CE/(BE/x) = 1
CE = BE/x
Tương tự, ta có:
CE = CE/y
Từ đó, ta có hệ phương trình:
BE/x = CE/y
BE/y = CE/x
Tổng 2 phương trình trên, ta được:
BE/x + BE/y = CE/x + CE/y
BE(AE + AF)/(AE * AF) = CE(AE + AF)/(AE * AF)
BE/AE + BE/AF = CE/AE + CE/AF
BE/AE + CE/AF = BE/AE + CE/AE = (BE + CE)/AE = 1
Vậy ta đã chứng minh được b).