Hãy chứng tỏ rằng 2 số sau đây là 2 số nguyên tố cùng nhau (với n thuộc N*)

a) Để chứng tỏ rằng hai số n+5 và n+6 là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của hai số này là 1.

Giả sử d là ước chung của n+5 và n+6. Khi đó, ta có:
n+5 ≡ 0 (mod d) và n+6 ≡ 0 (mod d)

Từ đó suy ra:
n ≡ -5 (mod d) và n ≡ -6 (mod d)

Do đó, ta có:
-5 ≡ -6 (mod d)

Từ đó suy ra:
1 ≡ 0 (mod d)

Vì 1 không chia hết cho bất kỳ số tự nhiên d nào khác 1, nên d phải bằng 1. Điều này chứng tỏ rằng hai số n+5 và n+6 là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Tương tự như trên, để chứng tỏ rằng hai số 2n+3 và n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của hai số này là 1.

Giả sử d là ước chung của 2n+3 và n+2. Khi đó, ta có:
2n+3 ≡ 0 (mod d) và n+2 ≡ 0 (mod d)

Từ đó suy ra:
2n ≡ -3 (mod d) và n ≡ -2 (mod d)

Do đó, ta có:
-3 ≡ -2 (mod d)

Từ đó suy ra:
1 ≡ 0 (mod d)

Vì 1 không chia hết cho bất kỳ số tự nhiên d nào khác 1, nên d phải bằng 1. Điều này chứng tỏ rằng hai số 2n+3 và n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau.

c) Để chứng tỏ rằng hai số 3n+1 và 4n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của hai số này là 1.

Giả sử d là ước chung của 3n+1 và 4n+1. Khi đó, ta có:
3n+1 ≡ 0 (mod d) và 4n+1 ≡ 0 (mod d)

Từ đó suy ra:
3n ≡ -1 (mod d) và 4n ≡ -1 (mod d)

Do đó, ta có:
-1 ≡ -1 (mod d)

Từ đó suy ra:
0 ≡ 0 (mod d)

Vì 0 chia hết cho mọi số tự nhiên d, nên d có thể là bất kỳ số tự nhiên nào. Điều này chứng tỏ rằng hai số 3n+1 và 4n+1 không phải là hai số nguyên tố cùng nhau.

d) Tương tự như trên, để chứng tỏ rằng hai số 3n+4 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của hai số này là 1.

Giả sử d là ước chung của 3n+4 và 2n+3. Khi đó, ta có:
3n+4 ≡ 0 (mod d) và 2n+3 ≡ 0 (mod d)

Từ đó suy ra:
3n ≡ -4 (mod d) và 2n ≡ -3 (mod d)

Do đó, ta có:
-4 ≡ -3 (mod d)

Từ đó suy ra:
1 ≡ 0 (mod d)

Vì 1 không chia hết cho bất kỳ số tự nhiên d nào khác 1, nên d phải bằng 1. Điều này chứng tỏ rằng hai số 3n+4 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau.