a, Tứ giác BCDE là hình thang cân:
Vì tam giác ABC đều nên AB = AC. Ta có AD = AE nên tam giác ADE cũng đều. Khi đó, ta có AD = DE.
Vì AD = DE và AB = AC, nên tam giác ABD và tam giác AEC là tam giác cân.
Do đó, ta có BD = DE và CE = EA.
Từ đó, ta có tứ giác BCDE là tứ giác cân với BD = DE.

b, Tứ giác CNEQ là hình thang:
Ta có AD = AE và tam giác ADE là tam giác đều, nên ta có AD = DE.
Vì tam giác ABC đều nên AB = AC.
Từ đó, ta có tam giác ABD và tam giác AEC là tam giác cân.
Do đó, ta có BD = DE và CE = EA.
Vì M là trung điểm của BE, nên BM = ME.
Vì N là trung điểm của AD, nên AN = ND.
Vì P là trung điểm của AC, nên AP = PC.
Vì Q là trung điểm của AB, nên AQ = QB.
Từ đó, ta có:
BN = AB - AN = AB - ND = AQ - AP = PQ.
Vậy tứ giác CNEQ là tứ giác hình thang với CN = EQ.

c, MNP là tam giác đều:
Vì tam giác ABC đều nên AB = AC.
Vì M là trung điểm của BE, nên BM = ME.
Vì N là trung điểm của AD, nên AN = ND.
Vì P là trung điểm của AC, nên AP = PC.
Vì Q là trung điểm của AB, nên AQ = QB.
Từ đó, ta có:
MN = AB - AN = AB - ND = AQ - AP = PQ.
Vậy tam giác MNP là tam giác đều.