Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O r kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tại E

Để chứng minh AN tiếp xúc với đường tròn (O), ta cần chứng minh AN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Gọi G là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng BC.

Ta có:
- Vì AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc AEO = 90°.
- Góc ABO = 90° (do AB là tiếp tuyến của đường tròn (I)).
- Góc BAO = Góc BAC + Góc CAO = Góc BAC + Góc CBO = Góc BCG (do BC là tiếp tuyến của đường tròn (I)).

Do đó, tam giác ABO và tam giác BCG có cặp góc tương đương, từ đó suy ra hai tam giác này đồng dạng.

Vậy, ta có:
AB/BC = AO/CG (đồng dạng hai tam giác ABO và BCG)
⇒ AB/BC = AO/BC (vì CG = BC)
⇒ AB = AO

Vậy, ta có AB = AO.

Mà AB là tiếp tuyến của đường tròn (I) nên AB = AN (do đường tròn (I) đi qua A và N).

Vậy, ta có AN = AO.

Do đó, AN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Vậy, ta đã chứng minh được AN tiếp xúc với đường tròn (O).