Để tính tổng A = 2 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^60, ta có thể sử dụng công thức tổng của cấp số nhân.

Công thức tổng của cấp số nhân là: S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r), trong đó:
- S_n là tổng n phần tử của cấp số nhân.
- a là phần tử đầu tiên của cấp số nhân.
- r là công bội của cấp số nhân.

Áp dụng công thức này vào bài toán của chúng ta, ta có:
- a = 2 (phần tử đầu tiên của cấp số nhân).
- r = 2 (công bội của cấp số nhân).
- n = 60 (số phần tử của cấp số nhân).

Thay các giá trị vào công thức, ta có:
A = 2 * (1 - 2^60) / (1 - 2)
= 2 * (1 - 2^60) / (-1)
= -2 * (1 - 2^60)
= 2^61 - 2

Để chứng tỏ rằng A chia hết cho 3, 7 và 5, ta có thể sử dụng định lý Fermat nhỏ.

Định lý Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Áp dụng định lý Fermat nhỏ vào bài toán của chúng ta, ta có:
- Với p = 3: Ta cần chứng minh rằng A ≡ 0 (mod 3).
Ta có A = 2^61 - 2.
Vì 2^2 ≡ 1 (mod 3) (do 2^2 = 4 chia hết cho 3), nên ta có: 2^60 ≡ 1 (mod 3).
Do đó, A ≡ 2^61 - 2 ≡ 2 * 2^60 - 2 ≡ 2 * 1 - 2 ≡ 0 (mod 3).
Vậy A chia hết cho 3.

- Với p = 7: Ta cần chứng minh rằng A ≡ 0 (mod 7).
Ta có A = 2^61 - 2.
Vì 2^3 ≡ 1 (mod 7) (do 2^3 = 8 chia hết cho 7), nên ta có: 2^60 ≡ 1 (mod 7).
Do đó, A ≡ 2^61 - 2 ≡ 2 * 2^60 - 2 ≡ 2 * 1 - 2 ≡ 0 (mod 7).
Vậy A chia hết cho 7.

- Với p = 5: Ta cần chứng minh rằng A ≡ 0 (mod 5).
Ta có A = 2^61 - 2.
Vì 2^4 ≡ 1 (mod 5) (do 2^4 = 16 chia hết cho 5), nên ta có: 2^60 ≡ 1 (mod 5).
Do đó, A ≡ 2^61 - 2 ≡ 2 * 2^60 - 2 ≡ 2 * 1 - 2 ≡ 0 (mod 5).
Vậy A chia hết cho 5.

Vậy ta đã chứng minh được rằng A chia hết cho 3, 7 và 5.