Để chứng minh abc chia hết cho 60, ta cần chứng minh rằng a, b, c chia hết cho 2, 3 và 5.

1. Chứng minh a, b, c chia hết cho 2:
Giả sử a, b, c không chia hết cho 2. Khi đó, a và b đều là số lẻ. Ta có:
a^2 + b^2 = c^2
Lấy modulo 2 của cả hai vế, ta có:
1 + 1 ≡ 1 (mod 2)
Điều này là không đúng vì 2 số lẻ cộng nhau không thể cho kết quả là số chẵn. Vậy giả thuyết ban đầu là sai, suy ra a, b, c chia hết cho 2.

2. Chứng minh a, b, c chia hết cho 3:
Giả sử a, b, c không chia hết cho 3. Khi đó, ta có 3 trường hợp:
- a, b, c đều chia hết cho 3. Khi đó, a^2 + b^2 và c^2 đều chia hết cho 3, điều này là không đúng vì a^2 + b^2 = c^2.
- Hai trong ba số a, b, c chia hết cho 3. Khi đó, a^2 + b^2 và c^2 đều chia hết cho 3, điều này là không đúng vì a^2 + b^2 = c^2.
- Không có số nào trong ba số a, b, c chia hết cho 3. Khi đó, a và b đều là số không chia hết cho 3. Ta có:
a^2 + b^2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 3)
c^2 ≡ 0 (mod 3)
Điều này là không đúng vì a^2 + b^2 = c^2. Vậy giả thuyết ban đầu là sai, suy ra a, b, c chia hết cho 3.

3. Chứng minh a, b, c chia hết cho 5:
Giả sử a, b, c không chia hết cho 5. Khi đó, ta có 2 trường hợp:
- a, b, c đều chia hết cho 5. Khi đó, a^2 + b^2 và c^2 đều chia hết cho 5, điều này là không đúng vì a^2 + b^2 = c^2.
- Hai trong ba số a, b, c chia hết cho 5. Khi đó, a^2 + b^2 và c^2 đều chia hết cho 5, điều này là không đúng vì a^2 + b^2 = c^2.
- Không có số nào trong ba số a, b, c chia hết cho 5. Khi đó, a và b đều là số không chia hết cho 5. Ta có:
a^2 + b^2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 5)
c^2 ≡ 0 (mod 5)
Điều này là không đúng vì a^2 + b^2 = c^2. Vậy giả thuyết ban đầu là sai, suy ra a, b, c chia hết cho 5.

Từ đó, ta có a, b, c đều chia hết cho 2, 3 và 5. Vì 2, 3 và 5 là các số nguyên tố cùng nhau, nên theo định lý Công thức Nhỏ nhất chung bội (LCM), ta có abc chia hết cho 2 x 3 x 5 = 30. Tuy nhiên, để chứng minh abc chia hết cho 60, ta cần chứng minh thêm rằng abc chia hết cho 2 x 2 x 3 x 5 = 60.

Giả sử a, b, c không chia hết cho 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Khi đó, ta có 2 trường hợp:
- a, b, c đều chia hết cho 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Khi đó, a^2 + b^2 và c^2 đều chia hết cho 60, điều này là không đúng vì a^2 + b^2 = c^2.
- Hai trong ba số a, b, c chia hết cho 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Khi đó, a^2 + b^2 và c^2 đều chia hết cho 60, điều này là không đúng vì a^2 + b^2 = c^2.
- Không có số nào trong ba số a, b, c chia hết cho 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Khi đó, a và b đều là số không chia hết cho 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Ta có:
a^2 + b^2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 60)
c^2 ≡ 0 (mod 60)
Điều này là không đúng vì a^2 + b^2 = c^2. Vậy giả thuyết ban đầu là sai, suy ra abc chia hết cho 2 x 2 x 3 x 5 = 60.

Vậy ta đã chứng minh được rằng abc chia hết cho 60.