Tính: A = 5² + 10² + 20² + ... + 2015²

Để tính tổng A = 5² + 10² + 20² + ... + 2015², ta nhận thấy rằng các số hạng trong dãy này có quy luật nhân đôi. Ta có thể viết lại dãy này thành:

A = (5²) + (2 * 5)² + (2 * 2 * 5)² + ... + (2 * 2 * ... * 2 * 5)²

= 5² + (2 * 5)² + (2 * 5)² * (2 * 2)² + ... + (2 * 5)² * (2 * 2)² * ... * (2 * 2 * ... * 2)

= 5² * (1 + 2² + 2² * 2² + ... + 2² * 2² * ... * 2²)

= 5² * (1 + 2² + 2⁴ + ... + 2²⁹)

Đây là một cấp số nhân với công bội là 2. Ta có công thức tổng của cấp số nhân:

S = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Trong đó:
- S là tổng của cấp số nhân
- a là số hạng đầu tiên
- r là công bội
- n là số lượng số hạng

Áp dụng vào công thức trên, ta có:

S = 1 - r^n / (1 - r)

Với a = 1, r = 2, n = 30 (vì có 30 số hạng từ 2² đến 2²⁹), ta tính được:

S = 1 - 2^30 / (1 - 2)

= 1 - 2^30 / (-1)

= 1 + 2^30

Vậy tổng A = 5² * (1 + 2^30) = 25 * (1 + 2^30).