Để tìm n thuộc N sao cho (n + 14) chia hết cho (n + 1), ta có thể sử dụng phép chia Euclid.

Giả sử (n + 14) chia hết cho (n + 1), ta có:

(n + 14) = k(n + 1), với k là một số nguyên dương.

Mở ngoặc, ta có:

n + 14 = kn + k

Dời các thành phần chứa n về cùng một vế, ta có:

14 - k = (k - 1)n

Vì n là số nguyên dương, nên (k - 1) phải chia hết cho (14 - k).

Xét các giá trị có thể của k từ 1 đến 13, ta tìm được các giá trị của n tương ứng:

- Khi k = 1, (k - 1) = 0 không chia hết cho (14 - k) = 13.
- Khi k = 2, (k - 1) = 1 chia hết cho (14 - k) = 12. Ta có n = (14 - k) / (k - 1) = 12 / 1 = 12.
- Khi k = 3, (k - 1) = 2 không chia hết cho (14 - k) = 11.
- Khi k = 4, (k - 1) = 3 không chia hết cho (14 - k) = 10.
- Khi k = 5, (k - 1) = 4 chia hết cho (14 - k) = 9. Ta có n = (14 - k) / (k - 1) = 9 / 4 = 2.25, không là số nguyên dương.
- Khi k = 6, (k - 1) = 5 không chia hết cho (14 - k) = 8.
- Khi k = 7, (k - 1) = 6 không chia hết cho (14 - k) = 7.
- Khi k = 8, (k - 1) = 7 chia hết cho (14 - k) = 6. Ta có n = (14 - k) / (k - 1) = 6 / 7 = 0.857, không là số nguyên dương.
- Khi k = 9, (k - 1) = 8 không chia hết cho (14 - k) = 5.
- Khi k = 10, (k - 1) = 9 không chia hết cho (14 - k) = 4.
- Khi k = 11, (k - 1) = 10 chia hết cho (14 - k) = 3. Ta có n = (14 - k) / (k - 1) = 3 / 10 = 0.3, không là số nguyên dương.
- Khi k = 12, (k - 1) = 11 không chia hết cho (14 - k) = 2.
- Khi k = 13, (k - 1) = 12 không chia hết cho (14 - k) = 1.

Từ các giá trị trên, ta thấy chỉ có k = 2 và k = 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy n = 12 hoặc n = 6.

Vậy, có hai giá trị của n thỏa mãn yêu cầu đề bài là n = 12 và n = 6.