Để chứng minh OA + OB + OC = OM + ON + OP, ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và tính chất của tổng của hai vector.

Gọi D là trung điểm của OA, E là trung điểm của OB, F là trung điểm của OC.

Theo tính chất của trung điểm, ta có:
OD = 1/2 * OA
OE = 1/2 * OB
OF = 1/2 * OC

Vậy ta có:
OA = 2 * OD
OB = 2 * OE
OC = 2 * OF

Đặt X = OM + ON + OP, ta có:
X = OM + ON + OP
= (OD + DM) + (OE + EN) + (OF + FP)
= (OD + OE + OF) + (DM + EN + FP)
= (1/2 * OA + 1/2 * OB + 1/2 * OC) + (DM + EN + FP)
= 1/2 * (OA + OB + OC) + (DM + EN + FP)

Theo tính chất của tổng của hai vector, ta có:
DM + EN + FP = DP

Vậy ta có:
X = 1/2 * (OA + OB + OC) + DP

Để chứng minh OA + OB + OC = OM + ON + OP, ta cần chứng minh X = DP.

Ta sẽ chứng minh DP = X bằng cách chứng minh DP là trung điểm của X.

Gọi Y là trung điểm của X, ta có:
DY = 1/2 * X

Vậy ta cần chứng minh DP = DY.

Ta có:
DP = DM + MP
= DM + (MN + NP)
= DM + MN + NP

Và:
DY = DM + MY
= DM + (MN + NY)
= DM + MN + NY

Ta cần chứng minh NP = NY.

Vì N là trung điểm của AC, ta có:
AN = NC

Vậy ta có:
NY = NP + PY
= NP + (AN + AP)
= NP + (NC + AP)
= NP + (AC + AP)
= NP + AC + AP

Vì P là trung điểm của AB, ta có:
AP = PB

Vậy ta có:
NY = NP + AC + AP
= NP + AC + PB
= NP + BC

Vì M là trung điểm của BC, ta có:
NP = PM

Vậy ta có:
NY = NP + BC
= PM + BC

Vì M là trung điểm của BC, ta có:
BM = MC

Vậy ta có:
NY = PM + BC
= PM + BM + MC
= PC + MC

Vậy ta có:
NY = PC + MC

Vì C là trung điểm của AB, ta có:
AC = CB

Vậy ta có:
NY = PC + MC
= PC + AC
= PC + CB
= PB

Vậy ta có:
NY = PB

Vậy ta có DP = DY.

Vậy ta có X = DP.

Vậy ta chứng minh được rằng OA + OB + OC = OM + ON + OP.