Để chứng minh 5 điểm A, D, H, M, E cùng nằm trên một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và tam giác đồng dạng.

Ta có:
- Tam giác AHD vuông tại H (do AH là đường cao của tam giác ABC).
- Tam giác ABD vuông tại D (do MD vuông góc với AB).
- Tam giác AEC vuông tại E (do ME vuông góc với AC).

Ta sẽ chứng minh tam giác AHD đồng dạng với tam giác AEC.

Cần chứng minh: ∠AHD = ∠AEC và ∠DAH = ∠EAM.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ∠BAC = 90°.

Do đó, ta có:
∠AHD = 90° - ∠DAH (1) (do tam giác AHD vuông tại H)
∠AEC = 90° - ∠EAM (2) (do tam giác AEC vuông tại E)

Ta cần chứng minh ∠DAH = ∠EAM.

Ta có:
∠DAH = ∠BAC - ∠DAH (do ∠BAC = 90°)
∠DAH = 90° - ∠AHD (do (1))
∠DAH = ∠AEC (do (2))

Vậy, ta có ∠DAH = ∠EAM.

Từ đó, ta suy ra tam giác AHD đồng dạng với tam giác AEC (do có 2 góc tương đương bằng).

Do đó, ta có:
∠AHD = ∠AEC và ∠DAH = ∠EAM.

Vậy, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có 5 điểm A, D, H, M, E cùng nằm trên một đường tròn.