Để giải phương trình này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Đặt \(y = \sqrt{9x + 9} + \sqrt{x + 1}\).
2. Bình phương cả hai vế của phương trình: \(y^2 = (\sqrt{9x + 9} + \sqrt{x + 1})^2\).
3. Mở ngoặc và rút gọn: \(y^2 = (9x + 9) + 2\sqrt{(9x + 9)(x + 1)} + (x + 1)\).
4. Rút gọn thêm: \(y^2 = 10x + 10 + 2\sqrt{(9x + 9)(x + 1)}\).
5. Đặt \(z = \sqrt{(9x + 9)(x + 1)}\).
6. Bình phương cả hai vế của phương trình: \(z^2 = (\sqrt{(9x + 9)(x + 1)})^2\).
7. Mở ngoặc và rút gọn: \(z^2 = (9x + 9)(x + 1)\).
8. Rút gọn thêm: \(z^2 = 9x^2 + 18x + 9\).
9. Đặt \(w = z^2\).
10. Bình phương cả hai vế của phương trình: \(w^2 = (z^2)^2\).
11. Rút gọn: \(w^2 = z^4\).
12. Thay \(z^2\) bằng \(9x^2 + 18x + 9\): \(w^2 = (9x^2 + 18x + 9)^2\).
13. Giải phương trình bậc hai \(w^2 = (9x^2 + 18x + 9)^2\) để tìm giá trị của \(w\).
14. Giải phương trình bậc hai \(z^2 = 9x^2 + 18x + 9\) để tìm giá trị của \(z\).
15. Giải phương trình bậc nhất \(y^2 = 10x + 10 + 2z\) để tìm giá trị của \(y\).
16. Giải phương trình bậc nhất \(\sqrt{9x + 9} + \sqrt{x + 1} = y\) để tìm giá trị của \(x\).

Quá trình giải phương trình này khá phức tạp và tốn nhiều thời gian.