Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC

a) Ta có AM = 16cm, HM = 12cm. Vì tam giác ABC là tam giác nhọn nên ta có:
\[AH^2 = AM^2 - HM^2 = 16^2 - 12^2 = 160\]
Vậy AH = √160 = 4√10 cm.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHB, ta có:
\[AB^2 = AH^2 + BH^2 = (4\sqrt{10})^2 + 12^2 = 160 + 144 = 304\]
Vậy AB = √304 cm.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
\[\cos(\angle ABC) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB.AC} = \frac{304 + AC^2 - BC^2}{2\sqrt{304}.AC}\]
Vì tam giác ABC là tam giác nhọn nên ta có:
\[BC^2 = AC^2 - AB^2 = AC^2 - 304\]
Thay vào công thức trên, ta có:
\[\cos(\angle ABC) = \frac{304 + AC^2 - AC^2 + 304}{2\sqrt{304}.AC} = \frac{608}{2\sqrt{304}.AC} = \frac{304}{\sqrt{304}.AC} = \frac{\sqrt{304}}{AC}\]
Vậy \[\angle ABC = \arccos\left(\frac{\sqrt{304}}{AC}\right)\]

b) Ta có \[\frac{AM}{AN} = \frac{HM}{HN} = \frac{HM}{HM + HN} = \frac{12}{12 + HN}\]
Do đó \[AM.AN = \frac{AM}{AN} \cdot AM.AN = \frac{12}{12 + HN} \cdot AM.AN = \frac{12}{12 + HN} \cdot AH^2 = \frac{12}{12 + HN} \cdot (AM^2 + HM^2) = \frac{12}{12 + HN} \cdot (16^2 + 12^2)\]
Tương tự, ta có \[AN.AC = \frac{12}{12 + HM} \cdot (16^2 + 12^2)\]
Vì \[HN = AC - HM\] và \[HM = AC - HN\] nên \[\frac{12}{12 + HN} = \frac{12}{12 + AC - HM} = \frac{12}{12 + AC - (AC - HN)} = \frac{12}{12 + HN}\]
Vậy \[AM.AN = AN.AC\]

c) Ta có \[\frac{AM}{AB} = \frac{HM}{HN} = \frac{HM}{HM + HN} = \frac{12}{12 + HN}\]
Do đó \[\frac{AM}{AB} = \frac{12}{12 + HN}\]
Tương tự, ta có \[\frac{AN}{AC} = \frac{12}{12 + HM}\]
Vì \[HN = AC - HM\] và \[HM = AC - HN\] nên \[\frac{12}{12 + HN} = \frac{12}{12 + AC - HM} = \frac{12}{12 + AC - (AC - HN)} = \frac{12}{12 + HN}\]
Vậy \[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\]
Do đó, theo định lí đồng dạng ta có \[\triangle AMB \sim \triangle ANC\]
Từ đó suy ra \[\angle BAC = \angle BAN + \angle NAC = \angle BAM + \angle MAC\]