Để chứng minh rằng các biểu thức trên luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến X, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

a) Ta có biểu thức 9x^2 - 6x + 2. Để chứng minh rằng biểu thức này luôn luôn có giá trị dương, ta sẽ chứng minh rằng nó không thể bằng 0.

Giả sử biểu thức trên bằng 0:
9x^2 - 6x + 2 = 0

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
x = (-(-6) ± √((-6)^2 - 4*9*2))/(2*9)
x = (6 ± √(36 - 72))/(18)
x = (6 ± √(-36))/(18)

Vì căn bậc hai của một số âm không tồn tại trong tập số thực, nên biểu thức trên không thể bằng 0. Do đó, biểu thức 9x^2 - 6x + 2 luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến X.

b) Ta có biểu thức x^2 + x + 1. Để chứng minh rằng biểu thức này luôn luôn có giá trị dương, ta sẽ chứng minh rằng nó không thể bằng 0.

Giả sử biểu thức trên bằng 0:
x^2 + x + 1 = 0

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
x = (-1 ± √(1 - 4*1*1))/(2*1)
x = (-1 ± √(-3))/(2)

Vì căn bậc hai của một số âm không tồn tại trong tập số thực, nên biểu thức trên không thể bằng 0. Do đó, biểu thức x^2 + x + 1 luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến X.