Cho hình vuông ABCD lấy điểm E trên cạnh BC sao cho CE = 2 lần BE. Gọi F là trung điểm của CD. Chứng minh EA là tia phân giác của góc BEF

Để chứng minh EA là tia phân giác của góc BEF, ta cần chứng minh rằng góc EAF = góc EAB và góc EFA = góc EBA.

Vì CE = 2BE, ta có BE = x và CE = 2x.
Vì F là trung điểm của CD, ta có CF = FD.
Vì ABCD là hình vuông, ta có AB = BC = CD = AD.

Ta có:
Góc EAF = góc EAB (1) (cùng nằm trên cùng một cạnh AB)
Góc EFA = góc EBA (2) (cùng nằm trên cùng một cạnh BA)

Để chứng minh (1), ta xét tam giác ABE và tam giác ACE.
Vì AB = AC (hình vuông ABCD), BE = CE (điều kiện trong đề bài), và góc ABE = góc ACE (cùng là góc vuông), nên tam giác ABE và tam giác ACE là hai tam giác đồng dạng (theo trường hợp góc - góc - góc).
Từ đó, ta có góc EAB = góc EAC (3).

Để chứng minh (2), ta xét tam giác BFE và tam giác BDE.
Vì BF = FD (F là trung điểm của CD), BE = ED (điều kiện trong đề bài), và góc BFE = góc BDE (cùng là góc vuông), nên tam giác BFE và tam giác BDE là hai tam giác đồng dạng (theo trường hợp góc - góc - góc).
Từ đó, ta có góc EBF = góc EBD (4).

Từ (3) và (4), ta có:
góc EAF = góc EAB = góc EAC
góc EFA = góc EBF = góc EBD

Vậy, EA là tia phân giác của góc BEF.