Chứng minh: AEMF là hình chữ nhật. Chứng minh EF = MB. Chứng minh E, O, C thẳng hàng

a) Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên M là trung điểm của BC.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, AE và MF là hai đường cao của tam giác ABC, nên AE và MF vuông góc với BC.
Mà AE và MF cắt nhau tại M, nên tam giác AEMF là hình chữ nhật.

b) Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên M là trung điểm của BC.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, AE và MF là hai đường cao của tam giác ABC, nên AE và MF vuông góc với BC.
Mà E là hình chiếu vuông góc của M lên AB, nên EM vuông góc với AB.
Tương tự, F là hình chiếu vuông góc của M lên AC, nên FM vuông góc với AC.
Vậy, EM và FM là hai đường cao của tam giác AEMF, nên EM và FM vuông góc với AM.
Mà AM là đường trung tuyến của tam giác AEMF, nên EM và FM cắt nhau tại trung điểm của AM, tức là M.
Do đó, EF = MB.

c) Gọi O là trung điểm của MF.
Ta cần chứng minh E, O, C thẳng hàng.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, AE và MF là hai đường cao của tam giác ABC, nên AE và MF vuông góc với BC.
Mà O là trung điểm của MF, nên OM song song với BC.
Vậy, OM vuông góc với AE.
Mà E là hình chiếu vuông góc của M lên AB, nên EM vuông góc với AB.
Vậy, OM và EM cùng vuông góc với AB, nên OM // EM.
Tương tự, ta có OF // FM.
Do đó, ta có EF // OM.
Mà E, O, C nằm trên đường thẳng EF, nên E, O, C thẳng hàng.