Cho tam giác ABC (AB < AC). Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AB = AE. Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng tam giác ABD = tam giác AED

a) Ta có AB = AE, suy ra tam giác ABE là tam giác cân tại A. Do đó, góc ABE = góc BAE = 1/2 góc BAC (do BD là tia phân giác của góc BAC).
Tương tự, ta có góc AED = góc DEA = 1/2 góc BAC.
Vậy, góc ABD = góc ABE - góc BDE = 1/2 góc BAC - 1/2 góc BAC = 0.
Do đó, tg ABD = tg 0 = 0.
Tương tự, ta có tg AED = tg 0 = 0.
Vậy, tg ABD = tg AED.

b) Ta có AF = AC, suy ra tam giác AFC là tam giác cân tại A. Do đó, góc AFC = góc FAC = 1/2 góc BAC (do BD là tia phân giác của góc BAC).
Tương tự, ta có góc EDC = góc CDE = 1/2 góc BAC.
Vậy, góc BDF = góc BDA - góc FDA = góc BAC - góc FAC = góc BAC - 1/2 góc BAC = 1/2 góc BAC.
Tương tự, ta có góc EDC = 1/2 góc BAC.
Vậy, tg BDF = tg góc BDF = tg (1/2 góc BAC).
Tương tự, ta có tg EDC = tg (1/2 góc BAC).
Vậy, tg BDF = tg EDC.

c) Ta đã chứng minh được tg ABD = tg AED và tg BDF = tg EDC.
Do đó, theo định lí về 3 điểm thẳng hàng, ta có 3 điểm E, D, F thẳng hàng.
Vì tg ABD = tg AED và tg BDF = tg EDC, nên ta có BE//CF (do 2 đường thẳng có cùng hướng).