Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng đi qua điểm D, ta có:
$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

Vì D là trung điểm của BC, nên $\frac{BD}{DC} = 1$.

Do đó, ta có $\frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$.

Từ đó, ta suy ra $\frac{CE}{EA} = \frac{FB}{AF}$.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác AEF và đường thẳng đi qua điểm D, ta có:
$\frac{ED}{DA} \cdot \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BC}{CE} = 1$

Vì D là trung điểm của BC, nên $\frac{ED}{DA} = 1$.

Do đó, ta có $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BC}{CE} = 1$.

Từ đó, ta suy ra $\frac{AF}{FB} = \frac{CE}{BC}$.

Kết hợp với $\frac{CE}{EA} = \frac{FB}{AF}$, ta có $\frac{CE}{EA} = \frac{FB}{AF} = \frac{CE}{BC}$.

Từ đó, ta suy ra $CE = \frac{EA \cdot BC}{EA + BC}$ và $FB = \frac{AF \cdot BC}{AF + BC}$.

Diện tích tam giác DEF là $\frac{1}{2} \cdot DE \cdot EF \cdot \sin(\angle DEF)$.

Diện tích tam giác ABC là $\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD \cdot \sin(\angle BAC)$.

Ta có $DE = \frac{1}{2} \cdot EA$ và $EF = \frac{1}{2} \cdot FB$.

Do đó, diện tích tam giác DEF là $\frac{1}{8} \cdot EA \cdot FB \cdot \sin(\angle DEF)$.

Diện tích tam giác ABC là $\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD \cdot \sin(\angle BAC)$.

Ta có $\sin(\angle DEF) = \sin(\angle BAC)$.

Do đó, diện tích tam giác DEF là $\frac{1}{8} \cdot EA \cdot FB \cdot \sin(\angle BAC)$.

Ta có $EA = \frac{BC \cdot CE}{BC - CE}$ và $FB = \frac{BC \cdot FB}{BC - FB}$.

Do đó, diện tích tam giác DEF là $\frac{1}{8} \cdot \frac{BC \cdot CE}{BC - CE} \cdot \frac{BC \cdot FB}{BC - FB} \cdot \sin(\angle BAC)$.

Ta có $\frac{CE}{BC} = \frac{EA}{BC - CE}$ và $\frac{FB}{BC} = \frac{FB}{BC - FB}$.

Do đó, diện tích tam giác DEF là $\frac{1}{8} \cdot \frac{CE}{BC} \cdot \frac{FB}{BC} \cdot \sin(\angle BAC)$.

Từ đó, ta suy ra diện tích tam giác DEF là $\frac{1}{8} \cdot \frac{CE}{BC} \cdot \frac{FB}{BC} \cdot \sin(\angle BAC)$.

Vì $\frac{CE}{BC} = \frac{FB}{BC}$, nên diện tích tam giác DEF là $\frac{1}{8} \cdot \frac{CE}{BC} \cdot \frac{FB}{BC} \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{8} \cdot \frac{CE}{BC} \cdot \frac{CE}{BC} \cdot \sin(\angle BAC)$.

Từ đó, ta suy ra diện tích tam giác DEF là $\frac{1}{8} \cdot \left(\frac{CE}{BC}\right)^2 \cdot \sin(\angle BAC)$.

Vì $\frac{CE}{BC} \leq 1$, nên $\left(\frac{CE}{BC}\right)^2 \leq \frac{CE}{BC}$.

Do đó, diện tích tam giác DEF là $\frac{1}{8} \cdot \left(\frac{CE}{BC}\right)^2 \cdot \sin(\angle BAC) \leq \frac{1}{8} \cdot \frac{CE}{BC} \cdot \sin(\angle BAC)$.

Từ đó, ta suy ra diện tích tam giác DEF nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{8} \cdot \frac{CE}{BC} \cdot \sin(\angle BAC)$.

Vì $\frac{CE}{BC} = \frac{EA}{BC - CE}$, nên $\frac{CE}{BC} \leq \frac{EA}{BC}$.

Do đó, diện tích tam giác DEF nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{8} \cdot \frac{EA}{BC} \cdot \sin(\angle BAC)$.

Vì $\frac{EA}{BC} = \frac{1}{2}$, nên diện tích tam giác DEF nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin(\angle BAC)$.

Từ đó, ta suy ra diện tích tam giác DEF nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{16} \cdot \sin(\angle BAC)$.

Vì $\sin(\angle BAC) \leq 1$, nên diện tích tam giác DEF nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{16}$.

Vậy ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.