a) Ta có AB = 2AD và BH vuông góc với AC, suy ra tam giác ABH và ADC đồng dạng. Do đó, ta có:
$\angle BAH = \angle CAD$ và $\angle ABH = \angle ACD$
Vậy, hai tam giác ABH và ACD đồng dạng. Từ đó, ta có:
$\frac{AH}{AD} = \frac{BH}{CD}$
Vì M là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD, nên ta có:
$\frac{AM}{AD} = \frac{1}{2}$ và $\frac{BP}{CD} = \frac{1}{2}$
Từ đó, ta có:
$\frac{AM}{AD} = \frac{BP}{CD}$
Vậy, theo định lí đồng dạng, ta có tứ giác MNCP là hình bình hành.

b) Ta có tứ giác MNCP là hình bình hành, nên MN song song với CP. Mà MN vuông góc với BH (vì N là trung điểm của BH), nên CP cũng vuông góc với BH. Vậy, MP vuông góc với MB.

c) Ta có I là trung điểm của BP, nên BI song song với MN (vì MN là đường chéo của hình bình hành MNCP). Gọi J là giao điểm của MC và NP. Ta cần chứng minh MI - IJ < JP.
Ta có tứ giác MNCP là hình bình hành, nên MN = CP. Vậy, ta có:
MI - IJ = MI - (MP + PJ) = MI - MP - PJ
Vì MP vuông góc với MB, nên MI - MP = PI. Vậy, ta có:
MI - IJ = PI - PJ
Nhưng PI = PJ (vì I là trung điểm của BP), nên MI - IJ = 0.
Vậy, MI - IJ < JP.