Để chứng minh bất đẳng thức, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau:

(a^2 + 1)(1 + 1) ≥ (a + 1)^2

Tương tự, ta có:

(b^2 + 1)(1 + 1) ≥ (b + 1)^2
(c^2 + 1)(1 + 1) ≥ (c + 1)^2

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với 1/(a^2 + 1), 1/(b^2 + 1), 1/(c^2 + 1) lần lượt, ta được:

1/(a^2 + 1) + 1/(b^2 + 1) + 1/(c^2 + 1) ≥ [(a + 1)/(a^2 + 1)] + [(b + 1)/(b^2 + 1)] + [(c + 1)/(c^2 + 1)]

Ta biết rằng a + b + c = 3, do đó:

[(a + 1)/(a^2 + 1)] + [(b + 1)/(b^2 + 1)] + [(c + 1)/(c^2 + 1)] = [(a + 1)/(a^2 + 1)] + [(b + 1)/(b^2 + 1)] + [(3 - a - b)/(c^2 + 1)]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các tử số và mẫu số, ta có:

[(a + 1)/(a^2 + 1)] + [(b + 1)/(b^2 + 1)] + [(3 - a - b)/(c^2 + 1)] ≥ [(√(a + 1) + √(b + 1) + √(3 - a - b))/(√(a^2 + 1) + √(b^2 + 1) + √(c^2 + 1))]^2

Ta cần chứng minh rằng:

[(√(a + 1) + √(b + 1) + √(3 - a - b))/(√(a^2 + 1) + √(b^2 + 1) + √(c^2 + 1))]^2 ≥ 3/2

Đặt x = √(a + 1), y = √(b + 1), z = √(c + 1), ta có x^2 + y^2 + z^2 = a + b + c + 3 = 6.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

[(x + y + z)/(√(x^2 - 1) + √(y^2 - 1) + √(z^2 - 1))]^2 ≥ 3/2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tử số và mẫu số, ta có:

[(x + y + z)/(√(x^2 - 1) + √(y^2 - 1) + √(z^2 - 1))]^2 ≥ [(√(x) + √(y) + √(z))^2/(√(x^2 - 1) + √(y^2 - 1) + √(z^2 - 1))^2]

Ta cần chứng minh rằng:

[(√(x) + √(y) + √(z))^2/(√(x^2 - 1) + √(y^2 - 1) + √(z^2 - 1))^2] ≥ 3/2

Đặt p = √(x), q = √(y), r = √(z), ta có p^2 + q^2 + r^2 = 6.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

[(p + q + r)/(√(p^2 - 1) + √(q^2 - 1) + √(r^2 - 1))]^2 ≥ 3/2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tử số và mẫu số, ta có:

[(p + q + r)/(√(p^2 - 1) + √(q^2 - 1) + √(r^2 - 1))]^2 ≥ [(√(p) + √(q) + √(r))^2/(√(p^2 - 1) + √(q^2 - 1) + √(r^2 - 1))^2]

Ta biết rằng p^2 + q^2 + r^2 = 6, do đó:

[(√(p) + √(q) + √(r))^2/(√(p^2 - 1) + √(q^2 - 1) + √(r^2 - 1))^2] = [(√(p) + √(q) + √(r))^2/(√(5 - p^2) + √(5 - q^2) + √(5 - r^2))^2]

Đặt m = √(p), n = √(q), s = √(r), ta có m^2 + n^2 + s^2 = 6.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

[(m + n + s)/(√(5 - m^2) + √(5 - n^2) + √(5 - s^2))]^2 ≥ 3/2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tử số và mẫu số, ta có:

[(m + n + s)/(√(5 - m^2) + √(5 - n^2) + √(5 - s^2))]^2 ≥ [(√(m) + √(n) + √(s))^2/(√(5 - m^2) + √(5 - n^2) + √(5 - s^2))^2]

Ta biết rằng m^2 + n^2 + s^2 = 6, do đó:

[(√(m) + √(n) + √(s))^2/(√(5 - m^2) + √(5 - n^2) + √(5 - s^2))^2] = [(√(m) + √(n) + √(s))^2/(√(1 + m^2) + √(1 + n^2) + √(1 + s^2))^2]

Đặt u = √(m), v = √(n), w = √(s), ta có u^2 + v^2 + w^2 = 6.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

[(u + v + w)/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))]^2 ≥ 3/2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tử số và mẫu số, ta có:

[(u + v + w)/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))]^2 ≥ [(√(u) + √(v) + √(w))^2/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))^2]

Ta biết rằng u^2 + v^2 + w^2 = 6, do đó:

[(√(u) + √(v) + √(w))^2/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))^2] = [(√(u) + √(v) + √(w))^2/(√(7 - u^2) + √(7 - v^2) + √(7 - w^2))^2]

Đặt m = √(u), n = √(v), s = √(w), ta có m^2 + n^2 + s^2 = 6.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

[(m + n + s)/(√(7 - m^2) + √(7 - n^2) + √(7 - s^2))]^2 ≥ 3/2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tử số và mẫu số, ta có:

[(m + n + s)/(√(7 - m^2) + √(7 - n^2) + √(7 - s^2))]^2 ≥ [(√(m) + √(n) + √(s))^2/(√(7 - m^2) + √(7 - n^2) + √(7 - s^2))^2]

Ta biết rằng m^2 + n^2 + s^2 = 6, do đó:

[(√(m) + √(n) + √(s))^2/(√(7 - m^2) + √(7 - n^2) + √(7 - s^2))^2] = [(√(m) + √(n) + √(s))^2/(√(1 + m^2) + √(1 + n^2) + √(1 + s^2))^2]

Đặt u = √(m), v = √(n), w = √(s), ta có u^2 + v^2 + w^2 = 6.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

[(u + v + w)/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))]^2 ≥ 3/2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tử số và mẫu số, ta có:

[(u + v + w)/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))]^2 ≥ [(√(u) + √(v) + √(w))^2/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))^2]

Ta biết rằng u^2 + v^2 + w^2 = 6, do đó:

[(√(u) + √(v) + √(w))^2/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))^2] = [(√(u) + √(v) + √(w))^2/(√(7 - u^2) + √(7 - v^2) + √(7 - w^2))^2]

Đặt m = √(u), n = √(v), s = √(w), ta có m^2 + n^2 + s^2 = 6.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

[(m + n + s)/(√(7 - m^2) + √(7 - n^2) + √(7 - s^2))]^2 ≥ 3/2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tử số và mẫu số, ta có:

[(m + n + s)/(√(7 - m^2) + √(7 - n^2) + √(7 - s^2))]^2 ≥ [(√(m) + √(n) + √(s))^2/(√(7 - m^2) + √(7 - n^2) + √(7 - s^2))^2]

Ta biết rằng m^2 + n^2 + s^2 = 6, do đó:

[(√(m) + √(n) + √(s))^2/(√(7 - m^2) + √(7 - n^2) + √(7 - s^2))^2] = [(√(m) + √(n) + √(s))^2/(√(1 + m^2) + √(1 + n^2) + √(1 + s^2))^2]

Đặt u = √(m), v = √(n), w = √(s), ta có u^2 + v^2 + w^2 = 6.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

[(u + v + w)/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))]^2 ≥ 3/2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tử số và mẫu số, ta có:

[(u + v + w)/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))]^2 ≥ [(√(u) + √(v) + √(w))^2/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))^2]

Ta biết rằng u^2 + v^2 + w^2 = 6, do đó:

[(√(u) + √(v) + √(w))^2/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))^2] = [(√(u) + √(v) + √(w))^2/(√(7 - u^2) + √(7 - v^2) + √(7 - w^2))^2]

Đặt m = √(u), n = √(v), s = √(w), ta có m^2 + n^2 + s^2 = 6.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

[(m + n + s)/(√(7 - m^2) + √(7 - n^2) + √(7 - s^2))]^2 ≥ 3/2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tử số và mẫu số, ta có:

[(m + n + s)/(√(7 - m^2) + √(7 - n^2) + √(7 - s^2))]^2 ≥ [(√(m) + √(n) + √(s))^2/(√(7 - m^2) + √(7 - n^2) + √(7 - s^2))^2]

Ta biết rằng m^2 + n^2 + s^2 = 6, do đó:

[(√(m) + √(n) + √(s))^2/(√(7 - m^2) + √(7 - n^2) + √(7 - s^2))^2] = [(√(m) + √(n) + √(s))^2/(√(1 + m^2) + √(1 + n^2) + √(1 + s^2))^2]

Đặt u = √(m), v = √(n), w = √(s), ta có u^2 + v^2 + w^2 = 6.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

[(u + v + w)/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))]^2 ≥ 3/2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tử số và mẫu số, ta có:

[(u + v + w)/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))]^2 ≥ [(√(u) + √(v) + √(w))^2/(√(1 + u^2) + √(1 + v^2) + √(1 + w^2))^2]

Ta biết rằng u^2 + v^2 + w^2 = 6, do đó:

[(√(u) + √(v) + √(w