a) Ta có OD vuông góc AC tại D vì đường thẳng qua O vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc.
Đồng thời, OD là đường trung trực của AC vì O là trung điểm của AC.
Tam giác ADC là tam giác vuông tại D.

b) Ta có OD vuông góc AC tại D, nên OD là đường cao của tam giác ADC.
Vì vậy, DC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D.

c) Ta có tam giác ADC là tam giác vuông tại D, nên AD là đường cao của tam giác ADC.
Vì DC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D, nên góc ADC = 90 độ.
Do đó, tam giác ADC là tam giác vuông cân tại D.

Gọi E là giao điểm của DC và BY.
Ta có tam giác BDE là tam giác vuông cân tại B (do BY là tiếp tuyến tại B).
Vì vậy, BD = BE.

Do tam giác ADC là tam giác vuông cân tại D, nên AD = DC.
Vậy, ta có AD.BE = DC.BE = BD.CE.

d) Gọi F là giao điểm của DB và AE.
Ta có tam giác BDE là tam giác vuông cân tại B, nên BF là đường trung trực của DE.
Vì vậy, BF vuông góc DE và BF = 1/2 DE.

Ta có AD.BE = BD.CE.
Vậy, (AD.BE)/4 = (BD.CE)/4 = (BD.CF)/2 = (BF.CD)/2.

Vì BF vuông góc DE và BF = 1/2 DE, nên (BF.CD)/2 = (1/2 DE.CD)/2 = (1/4 DC.DE).

Vậy, FC^2 ≤ (AD.BE)/4.