Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai B, SA vuông góc với đáy

Để xác định góc nhị diện [S,AC,B], ta cần tìm góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC).

Gọi M là trung điểm của AC. Ta có:
- AM = MC = a/2 (do ABC là tam giác vuông tại B)
- SM = SC - MC = a√5 - a/2 = a(√5 - 1/2)

Gọi N là trung điểm của SB. Ta có:
- SN = SC - CN = a√5 - CN

Vì SN vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SN vuông góc với đường thẳng AB. Do đó, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng (ABC).

Ta có:
- AB = a
- BN = BC/2 = a√3/2

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SBN, ta có:
SN^2 = SB^2 - BN^2
(SN - a√5 + CN)^2 = a^2 - (a√3/2)^2
(a√5 - CN)^2 = a^2 - (a√3/2)^2
(a√5 - CN)^2 = a^2 - 3a^2/4
(a√5 - CN)^2 = a^2/4

Giải phương trình trên, ta có:
a√5 - CN = ±a/2
CN = a√5 - a/2 hoặc CN = a√5 + a/2

Vì CN không thể lớn hơn SC (vì CN là đoạn thẳng nằm trong tam giác SBC), nên ta chỉ lấy CN = a√5 - a/2.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác SNC, ta có:
cos([S,AC,B]) = (SN^2 + CN^2 - SC^2) / (2 * SN * CN)
cos([S,AC,B]) = (a^2/4 + (a√5 - a/2)^2 - (a√5)^2) / (2 * (a√5 - a/2) * (a√5 - a/2))
cos([S,AC,B]) = (a^2/4 + (a^2 * 5 - 2a * a√5 + a^2/4) - 5a^2) / (2 * (a√5 - a/2) * (a√5 - a/2))
cos([S,AC,B]) = (a^2/4 + a^2 * 5 - 2a * a√5 + a^2/4 - 5a^2) / (2 * (a√5 - a/2) * (a√5 - a/2))
cos([S,AC,B]) = (a^2/2 - 3a^2) / (2 * (a√5 - a/2) * (a√5 - a/2))
cos([S,AC,B]) = -a^2 / (2 * (a√5 - a/2) * (a√5 - a/2))
cos([S,AC,B]) = -1 / (2 * (√5 - 1/2) * (√5 - 1/2))
cos([S,AC,B]) = -1 / (2 * (√5 - 1/2)^2)
cos([S,AC,B]) = -1 / (2 * (5 - √5 + 1/4))
cos([S,AC,B]) = -1 / (2 * (21/4 - √5))
cos([S,AC,B]) = -1 / (42/4 - 2√5)
cos([S,AC,B]) = -1 / (21/2 - 2√5)
cos([S,AC,B]) = -2 / (21 - 4√5)

Vậy góc nhị diện [S,AC,B] có cosin bằng -2 / (21 - 4√5).