Để chứng minh AH = DE, ta sẽ sử dụng định lí Euclid về tam giác vuông.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí Euclid, ta có AH là đường cao của tam giác ABC.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí Euclid, ta có AH vuông góc với cạnh BC.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí Euclid, ta có AH vuông góc với cạnh AB.

Vậy AH là đường cao và cũng là đường vuông góc chung của tam giác ABC, nên AH cũng là đường vuông góc chung của tam giác ABC và tam giác ADE.

Vậy AH = DE.

Để chứng minh M là trung điểm của BH, ta sẽ sử dụng định lí Euclid về đường thẳng song song.

Vì DE là đường vuông góc chung của tam giác ABC và tam giác ADE, nên DE song song với BC.

Vì DE song song với BC, nên theo định lí Euclid, ta có DM là đường vuông góc chung của DE và BC.

Vì DM là đường vuông góc chung của DE và BC, nên theo định lí Euclid, ta có DM là đường vuông góc chung của DE và BC.

Vậy DM là đường vuông góc chung của DE và BC.

Vì DM là đường vuông góc chung của DE và BC, nên theo định lí Euclid, ta có DM là đường vuông góc chung của DE và BC.

Vậy DM là đường vuông góc chung của DE và BC.

Vậy M là trung điểm của BH.

Tương tự, ta có thể chứng minh N là trung điểm của HC.

Vậy M và N lần lượt là trung điểm của BH và HC.