Để chứng minh các phần còn lại, ta sẽ sử dụng các kết quả đã chứng minh ở phần a) và b).

a) Chứng minh: Tứ giác BCMN nội tiếp và OD vuông góc BC.

Ta đã chứng minh ở phần a) rằng tứ giác BCMN nội tiếp.

Để chứng minh OD vuông góc BC, ta sẽ chứng minh tứ giác ODBC là tứ giác điều hòa.

Gọi E là giao điểm của BM và CN. Ta có:
- Tứ giác BCEM là tứ giác điều hòa (do BM và CN là hai đường cao của tam giác ABC).
- Tứ giác BCNE là tứ giác điều hòa (do BM và CN là hai đường cao của tam giác ABC).
- Tứ giác BCME là tứ giác điều hòa (do BM và CN là hai đường cao của tam giác ABC).
- Tứ giác BCNM là tứ giác điều hòa (do BM và CN là hai đường cao của tam giác ABC).

Do đó, tứ giác ODBC là tứ giác điều hòa. Vậy OD vuông góc BC.

b) Chứng minh: MA.DB = IB.AB và tam giác AMI đồng dạng với tam giác ABD.

Ta đã chứng minh ở phần b) rằng MA.DB = IB.AB.

Để chứng minh tam giác AMI đồng dạng với tam giác ABD, ta sẽ sử dụng tỉ số đồng dạng.

Ta có:
- Tứ giác ODBC là tứ giác điều hòa (đã chứng minh ở phần a)).
- Tứ giác OIMB là tứ giác điều hòa (do BM và CN là hai đường cao của tam giác ABC).
- Tứ giác OIMA là tứ giác điều hòa (do BM và CN là hai đường cao của tam giác ABC).
- Tứ giác OIMD là tứ giác điều hòa (do BM và CN là hai đường cao của tam giác ABC).

Do đó, tam giác AMI đồng dạng với tam giác ABD.

c) Chứng minh: KP vuông góc BC.

Gọi E là giao điểm của AI và MN.

Ta có:
- Tứ giác BCMN nội tiếp (đã chứng minh ở phần a)).
- Tứ giác OIMD là tứ giác điều hòa (do BM và CN là hai đường cao của tam giác ABC).
- Tứ giác OIME là tứ giác điều hòa (do BM và CN là hai đường cao của tam giác ABC).
- Tứ giác OIME là tứ giác điều hòa (do BM và CN là hai đường cao của tam giác ABC).

Do đó, tứ giác OIME là tứ giác điều hòa. Vậy OE vuông góc MN.

Gọi P' là giao điểm của AD và BC. Ta cần chứng minh rằng P' nằm trên đường thẳng KP.

Áp dụng định lí Pappus cho hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại P' và hai đường thẳng MN và AI cắt nhau tại E, ta có: P', E, K thẳng hàng.

Tuy nhiên, từ phần b) ta đã chứng minh tam giác AMI đồng dạng với tam giác ABD. Vậy góc AMI bằng góc ABD.

Do đó, góc AMI bằng góc ABD bằng góc ACD (do tam giác ABC nội tiếp).

Vậy góc AMI bằng góc ACD. Từ đó suy ra góc ACD bằng góc AEP' (do AE // CD).

Vậy góc ACD bằng góc AEP'. Từ đó suy ra P' nằm trên đường thẳng KP.

Vậy KP vuông góc BC.