Để chứng minh DM + EN = BC, ta sẽ sử dụng hai định lí sau:

Định lí 1: Trong một tam giác, nếu có hai đường thẳng song song cắt hai cạnh khác, thì các đoạn thẳng tạo thành trên các cạnh đó có tỉ lệ bằng nhau.

Định lí 2: Trong một tam giác, nếu có hai đường thẳng song song cắt hai cạnh khác, thì tỉ lệ giữa các đoạn thẳng tạo thành trên các cạnh đó bằng tỉ lệ giữa các cạnh.

Áp dụng định lí 1, ta có:
DM // BC và DN // AB (do N là điểm trên đường thẳng song song với AB qua D)
Do đó, theo định lí 1, ta có:
DM/BC = DN/AB

Tương tự, ta có:
EN // BC và EM // AB (do M là điểm trên đường thẳng song song với AB qua E)
Do đó, theo định lí 1, ta có:
EN/BC = EM/AB

Vì AD = BE, nên AB = AD + DE + EB = AD + DE + AD = 2AD + DE
Từ đó, ta có AB = 2AD + DE = 2BE + DE = AE

Áp dụng định lí 2, ta có:
DM/BC = DN/AB = DN/AE
EN/BC = EM/AB = EM/AE

Do đó, ta có:
DM/BC + EN/BC = DN/AE + EM/AE = (DN + EM)/AE

Vì DN + EM = DE (do DN và EM là hai đoạn thẳng trên cạnh AB), nên ta có:
DM/BC + EN/BC = DE/AE

Vì AB = AE, nên ta có:
DM/BC + EN/BC = DE/AB

Vì DE/AB = 1, nên ta có:
DM/BC + EN/BC = 1

Từ đó, ta có:
DM + EN = BC

Vậy, ta đã chứng minh được DM + EN = BC.