Để giải bài toán này, ta sử dụng các kiến thức về hình học và tỉ lệ.

Gọi cạnh của hình vuông ABCD là a. Khi đó, diện tích của hình vuông ABCD là a^2.

Gọi EF = kx, FG = ky, GH = kz, và HE = kw, với x, y, z, w là các số thực dương.

Ta có tỉ lệ EF : AB = FG : BC = GH : CD = HE : DA = k.

Do đó, ta có EF = kx, FG = ky, GH = kz, và HE = kw.

Vì EFGH là hình vuông nội tiếp ABCD, ta có:

EF + FG + GH + HE = AB + BC + CD + DA

kx + ky + kz + kw = a + a + a + a

k(x + y + z + w) = 4a

Từ đó, ta suy ra:

x + y + z + w = (4a) / k

Diện tích của hình vuông EFGH là S_EFGH = EF * FG = kx * ky = k^2 * xy.

Diện tích của hình vuông ABCD là S_ABCD = a^2.

Theo đề bài, ta có:

S_EFGH / S_ABCD = 5/9

(k^2 * xy) / (a^2) = 5/9

(k^2 * xy) = (5/9) * (a^2)

(k^2 * xy) = (5/9) * (4a)^2 / k^2

(k^2 * xy) = (5/9) * (16a^2) / k^2

k^4 * xy = (5/9) * 16a^2

k^4 * xy = (80/9) * a^2

k^4 = (80/9) * (a^2) / (xy)

k = ((80/9) * (a^2) / (xy))^(1/4)

Vậy, k = ((80/9) * (a^2) / (xy))^(1/4) là giá trị cần tìm.

Để tính được giá trị của k, ta cần biết giá trị của a, x và y.