Giả sử số tự nhiên m là số cần tìm.

Ta có phân số ban đầu là 34/41.

Nếu bớt m ở tử số và thêm mở mẫu số, ta được phân số mới là (34 - m)/(41 + m).

Theo đề bài, phân số mới này sau khi rút gọn sẽ được 2/3.

Ta có phương trình: (34 - m)/(41 + m) = 2/3.

Để giải phương trình này, ta nhân cả hai vế với (41 + m) và thực hiện các bước tính toán:

(34 - m)(41 + m) = 2(41 + m)(3)
(34 - m)(41 + m) = 2(123 + 3m)
(34 - m)(41 + m) = 246 + 6m
34(41 + m) - m(41 + m) = 246 + 6m
1394 + 34m - 41m - m^2 = 246 + 6m
m^2 - 9m + 1394 - 246 - 6m = 0
m^2 - 15m + 1148 = 0

Để giải phương trình bậc hai này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai.

D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4(1)(1148) = 225 - 4592 = -4367.

Vì D < 0, nên phương trình không có nghiệm thực.

Vậy không tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.