Để chứng minh tam giác DEF là tam giác đều, ta cần chứng minh các cạnh của tam giác DEF bằng nhau.

Ta có:
- Vì M là trung điểm của AB nên BM = AM.
- Vì N là trung điểm của AC nên CN = AN.
- Vì D là trung điểm của BC nên BD = CD.

Ta cần chứng minh:
- DE = DF.
- EF = ED.

Ta có:
- DE = DM - EM = \(\frac{1}{2}\)BM - EM = \(\frac{1}{2}\)AB - EM.
- DF = DN - FN = \(\frac{1}{2}\)CN - FN = \(\frac{1}{2}\)AC - FN.

Ta cần chứng minh:
- \(\frac{1}{2}\)AB - EM = \(\frac{1}{2}\)AC - FN.
- AB - 2EM = AC - 2FN.

Ta có:
- EM = \(\frac{1}{2}\)AM (vì E là trung điểm của AM).
- FN = \(\frac{1}{2}\)AN (vì F là trung điểm của AN).

Thay vào biểu thức cần chứng minh, ta có:
- AB - 2EM = AC - 2FN.
- AB - 2(\(\frac{1}{2}\)AM) = AC - 2(\(\frac{1}{2}\)AN).
- AB - AM = AC - AN.
- MB = NC.

Vì tam giác ABM và ACN là tam giác đều, nên MB = AB và NC = AC.

Do đó, ta có MB = NC, từ đó suy ra AB - AM = AC - AN.

Thay vào biểu thức DE = \(\frac{1}{2}\)AB - EM và DF = \(\frac{1}{2}\)AC - FN, ta có:
- DE = \(\frac{1}{2}\)AB - EM = \(\frac{1}{2}\)AB - \(\frac{1}{2}\)AM = \(\frac{1}{2}\)(AB - AM).
- DF = \(\frac{1}{2}\)AC - FN = \(\frac{1}{2}\)AC - \(\frac{1}{2}\)AN = \(\frac{1}{2}\)(AC - AN).

Vì AB - AM = AC - AN, nên DE = DF.

Từ đó, ta có DE = DF và MB = NC, suy ra tam giác DEF là tam giác đều.