Cho a, b, c thuộc Z biết (a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(abc). Cmr a+b+c=3

4. Ta có:
(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(abc)
(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) + (b^3 - 3b^2c + 3bc^2 - c^3) + (c^3 - 3c^2a + 3ca^2 - a^3) = 3abc
3(a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2) = 3abc
a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 = abc
a^2b + b^2c + c^2a = ab^2 + bc^2 + ca^2

Đặt x = a+b+c, y = ab+bc+ca, z = abc
Ta có hệ phương trình:
a+b+c = x
ab+bc+ca = y
abc = z

Ta có:
(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)
x^2 = (a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab+bc+ca)
x^2 = (a^2 + b^2 + c^2) + 2y
a^2 + b^2 + c^2 = x^2 - 2y

(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc
xy = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3z
xy = (a^2b + b^2c + c^2a) + (ab^2 + bc^2 + ca^2) + 3z
xy = (ab^2 + bc^2 + ca^2) + (a^2b + b^2c + c^2a) + 3z
xy = (ab^2 + bc^2 + ca^2) + (a^2b + b^2c + c^2a) + 3abc
xy = y + y + 3z
xy = 2y + 3z
xy - 2y = 3z
y(x-2) = 3z
y = (3z)/(x-2)

Thay vào a^2b + b^2c + c^2a = ab^2 + bc^2 + ca^2
Ta có:
(x^2 - 2y)z = y^2
(x^2 - 2(3z)/(x-2))z = (3z/(x-2))^2
(x^2 - 6z/(x-2))z = (9z^2)/(x-2)^2
x^2z - 6z^2/(x-2) = 9z^2/(x-2)^2
(x^2z - 6z^2/(x-2))(x-2)^2 = 9z^2
(x^2z(x-2)^2 - 6z^2)(x-2)^2 = 9z^2
x^2z(x-2)^4 - 12z^2(x-2)^2 + 36z^2 = 9z^2
x^2z(x-2)^4 - 12z^2(x-2)^2 + 27z^2 = 0

Vì xyz không bằng 0, nên z khác 0. Ta có:
x^2(x-2)^4 - 12(x-2)^2 + 27 = 0
(x-2)^2(x^2(x-2)^2 - 12) + 27 = 0

Đặt t = x-2, ta có:
t^2(t^2(x^2 - 4x + 4) - 12) + 27 = 0
t^2(t^2x^2 - 4t^2x + 4t^2 - 12) + 27 = 0
t^4x^2 - 4t^4x + 4t^4 - 12t^2 + 27 = 0

Đặt u = t^2, ta có:
u^2x^2 - 4ux + 4u - 12t^2 + 27 = 0

Để giải phương trình này, cần thêm thông tin về giá trị của a, b, c.

5. Ta có:
(xy)/(z^2) + (yz)/(x^2) + (zx)/(y^2) = (xy)^3/(z^2xyz) + (yz)^3/(x^2xyz) + (zx)^3/(y^2xyz)
= (x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3)/(xyz)
= (x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3)/(xyz)
= (x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)
= (xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2
= (xy+yz+zx)^2
= 0^2
= 0

6. Ta có:
(ab)^3 + (cb)^3 + (ca)^3 = 3(abc)^2
a^3b^3 + c^3b^3 + c^3a^3 = 3a^2b^2c^2
a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3 = 3a^2b^2c^2
(a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3)/(abc)^2 = 3
(a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3)/(a^2b^2c^2) = 3
(a^3b^3)/(a^2b^2c^2) + (b^3c^3)/(a^2b^2c^2) + (c^3a^3)/(a^2b^2c^2) = 3
(a/b)^3 + (b/c)^3 + (c/a)^3 = 3
(1 + a/b)^3 + (1 + b/c)^3 + (1 + c/a)^3 = 3 + 3 + 3
(1 + a/b)^3 + (1 + b/c)^3 + (1 + c/a)^3 = 9
A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a)
A = (1 + a/b + b/c + c/a + a/bc + b/ca + c/ab + 1)
A = (1 + a/b + b/c + c/a + 1)
A = (2 + a/b + b/c + c/a)

7. Ta có:
(x-3)^3 + (x+1)^3 = 8(x-3)^3
(x-3 + x+1)((x-3)^2 - (x-3)(x+1) + (x+1)^2) = 8(x-3)^3
(2x-2)((x^2 - 6x + 9) - (x^2 - 2x - 3) + (x^2 + 2x + 1)) = 8(x-3)^3
(2x-2)(-4x + 7) = 8(x-3)^3
-8x^2 + 14x + 16x - 28 = 8(x-3)^3
-8x^2 + 30x - 28 = 8(x-3)^3
-8(x^2 - 3.75x + 3.5) = 8(x-3)^3
x^2 - 3.75x + 3.5 = -(x-3)^3
x^2 - 3.75x + 3.5 = -(x^3 - 3x^2 + 3x - 1)
x^2 - 3.75x + 3.5 = -x^3 + 3x^2 - 3x + 1
x^3 - 2x^2 + 0.25x - 2.5 = 0

Để giải phương trình này, cần thêm thông tin về giá trị của a, b, c.