Cho tam giác ABC, Gọi D là trung điểm của cạnh BC, Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm E và F, Chứng minh rằng điện tích tam giác DEF nhỏ hơn hoặc bằng 1/2 diện tích tam giác ABC

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử điện tích tam giác DEF lớn hơn 1/2 diện tích tam giác ABC. Khi đó, ta có:

S(DEF) > 1/2 S(ABC)

Theo định nghĩa, điện tích tam giác DEF bằng nửa tích vô hướng của vector EF và vector nằm vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác DEF. Gọi vector này là vector n.

Ta có:

S(DEF) = 1/2 |EF| * |n|

Vì |EF| > 0 và S(DEF) > 1/2 S(ABC), nên ta có:

|n| > S(ABC) / |EF|

Tương tự, ta có:

|n| > S(ABC) / |DF|

Do đó, ta có:

|n| > S(ABC) / |EF| + S(ABC) / |DF|

Từ đây, ta suy ra:

|n| > S(ABC) * (1/|EF| + 1/|DF|)

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

|EF| + |DF| ≥ |ED|

Vì D là trung điểm của BC, nên ta có:

|ED| = |BD| = |CD|

Do đó, ta có:

|n| > S(ABC) * (1/|EF| + 1/|DF|) ≥ S(ABC) * (1/|EF| + 1/|ED|)

Từ đây, ta suy ra:

|n| > S(ABC) * (1/|EF| + 1/|ED|)

Tuy nhiên, điện tích tam giác ABC bằng nửa tích vô hướng của vector BC và vector nằm vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC. Gọi vector này là vector m.

Ta có:

S(ABC) = 1/2 |BC| * |m|

Vì |BC| > 0 và |n| > S(ABC) * (1/|EF| + 1/|ED|), nên ta có:

|m| > 2 * S(ABC) / |BC| * (1/|EF| + 1/|ED|)

Từ đây, ta suy ra:

|m| > S(ABC) * (2/|BC|) * (1/|EF| + 1/|ED|)

Tuy nhiên, ta có:

|BC| = |BD| + |CD| = 2 * |ED|

Do đó, ta có:

|m| > S(ABC) * (2/|BC|) * (1/|EF| + 1/|ED|) = S(ABC) * (1/|EF| + 1/|ED|)

Từ đây, ta suy ra:

|m| > S(ABC) * (1/|EF| + 1/|ED|)

Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu, vì vậy giả sử sai. Do đó, ta kết luận rằng điện tích tam giác DEF nhỏ hơn hoặc bằng 1/2 diện tích tam giác ABC.