Vì AM là tia phân giác của góc BAC, nên ta có:
∠BAM = ∠CAM.
Vì AB = AE, nên ta có:
∠BAE = ∠ABE.
có hai tam giác BAE và BEM đồng quy với nhau (do có hai góc bằng nhau).
Vì BM = ME, nên ta có:
∠BME = ∠BEM.
Từ hai tam giác BEM và BAE đồng quy, ta có:
∠BME = ∠BAE.
Vậy ta có:
∠BEM = ∠BME = ∠BAE = ∠ABE.
Vì vậy, tam giác BEM là tam giác cân tại B.
Do đó, ta có:
BM = EM.
Vì ∠BAM = ∠CAM, nên ta có:
∠BAM + ∠BAC = ∠CAM + ∠BAC.
Vậy, ta có:
∠BAM + ∠BAC = ∠CAM + ∠BAC = ∠CAB.
Như vậy, ta có:
∠BAM + ∠BAC + ∠CAB = 180°.
Vì AM là tia phân giác của góc BAC, nên ta có:
∠BAM + ∠MAC = ∠BAC.
Do đó, ta có:
∠BAM + ∠MAC + ∠CAB = 180°.
Nhưng ta đã có:
∠BAM + ∠BAC + ∠CAB = 180°.
Vậy, ta có:
∠BAM + ∠MAC + ∠CAB = ∠BAM + ∠BAC + ∠CAB.
Từ đó, ta có:
∠MAC = ∠BAC.
Vì AE = AB, nên ta có:
∠MAE = ∠BAE.
tam giác MAE và BAC đồng quy với nhau (có hai góc bằng nhau).
tam giác MAE và BAC đồng quy, nên ta có:
∠MEA = ∠BAC.
Vậy, ta có:
∠MEA + ∠EMA + ∠MAE = ∠BAC + ∠BAM + ∠CAM.
Nhưng ta đã có:
∠BAM + ∠MAC + ∠CAB = ∠BAM + ∠BAC + ∠CAB.
Vậy, ta có:
∠MEA + ∠EMA + ∠MAE = ∠MEA + ∠EMA + ∠MAE.
Từ đó, ta có:
∠BAC + ∠BAM + ∠CAM = ∠BAM + ∠BAC + ∠CAB.
Vậy, ta có:
∠BAC + ∠CAM = ∠BAC + ∠CAB.
Do đó, ta có:
∠CAM = ∠CAB.
tam giác ACM là tam giác cân tại C.
Như vậy, ta có:
AC = AM.
Vì BM = EM và AC = AM, nên ta có: BK = EK và AK = AC.