Để chứng minh ab + bc + cd + da = 0, ta sử dụng định lý về tổng các góc trong một đa giác lồi.

Giả sử a, b, c, d là các điểm trên một đường tròn. Khi đó, ta có thể vẽ một đa giác lồi với các đỉnh là a, b, c, d trên đường tròn đó.

Đặt góc ABC = x, góc BCD = y, góc CDA = z, góc DAB = t. Ta có:

AB + BC + CD + DA = 2R(sin(x) + sin(y) + sin(z) + sin(t)),

trong đó R là bán kính của đường tròn.

Theo định lý về tổng các góc trong một đa giác lồi, ta có:

x + y + z + t = (n - 2) * 180 độ,

trong đó n là số đỉnh của đa giác (nếu n = 4, ta có tứ giác).

Do đó, x + y + z + t = 2 * 180 = 360 độ.

Vì sin(360) = 0, nên ta có:

AB + BC + CD + DA = 2R(sin(x) + sin(y) + sin(z) + sin(t)) = 2R * 0 = 0.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng ab + bc + cd + da = 0.