Cho tam giác ABC vuông tại A, trên hai cạnh AB và AC lấy hai điểm tùy ý M và N. Gọi D, E, F, G thứ tự là trung điểm của MN, MC, BC, BN. Chứng minh tứ giác DEFG là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác DEFG là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các cặp cạnh đối diện của nó là bằng nhau và vuông góc với nhau.

Ta có tam giác ABC vuông tại A, vậy AM và AN là đường cao của tam giác ABC. Do đó, ta có:

- Đường cao AM chia cạnh BC thành hai đoạn BM và MC, và AM = MC/2 (do M là trung điểm của BC).
- Đường cao AN chia cạnh BC thành hai đoạn BN và NC, và AN = BN/2 (do N là trung điểm của BC).

Do đó, ta có AM = MC/2 = BN/2 = AN.

Vì D là trung điểm của MN, nên DM = DN.

Vì E là trung điểm của MC, nên EM = EC/2.

Vì F là trung điểm của BC, nên FC = FB/2.

Vì G là trung điểm của BN, nên GN = GB/2.

Ta có AM = MC/2 = BN/2 = AN, nên tứ giác AMNB là hình bình hành.

Vì DM = DN, nên tứ giác DMGN là hình bình hành.

Vì EM = EC/2 và FC = FB/2, nên tứ giác EMFC là hình bình hành.

Vì GN = GB/2, nên tứ giác GNFB là hình bình hành.

Vậy tứ giác DEFG có các cạnh đối diện bằng nhau và vuông góc với nhau, do đó nó là hình chữ nhật.