a) +) Xét ΔΔAM'B và ΔΔBNA  có;

^M'AB = ^NBA = 90o 

AB chung

AM' = BN  ( = AC)

=> ΔΔAM'B = ΔΔBNA  

=> AN = BM'

+) Vì AM' = ABN ; AM = BN' ( = BC )

=> AM = BN'

^MAB = ^N'BA = 90o 

=> ΔΔAMB = ΔΔBN'A 

=> AN' = BM 

+) Xét ΔΔAMC và ΔΔBCN có:
AM = BC 

BN = AC 

^MAC = ^CBN ( = 90o )

=> ΔΔAMC = ΔΔBCN 

=> MC = NC 

b)  ΔΔAM'B = ΔΔBNA   ( chứng minh ở a)

=> ^M'BA = ^NAB mà  hai góc này ở vị trí so le trong 

=> AN // BM'

​ΔΔAMB = ΔΔBN'A ​

=> ^MBA = ^N'AB mà hai góc này ở vị trí so le trong 

=> MB // AN'

c) Gọi O là trung điểm của AB 

Xét ΔΔOAM và ΔΔOBN' có:

OA = OB 

^OAM = ^OBN' 

AM  = BN' 

=> ΔΔOAM = ΔΔOBN'  => ^AOM = ^BON'  mà ^AOM + ^MOB = 180o => ^BON' + ^MOB = 180o => MON' = 180o 

=> M; O; N' thẳng hàng (1)

Tương tự chứng minh được:

ΔΔOAM' = ΔΔOBN 

=> M'; O; N thẳng hàng (2)

Từ (1); (2) => MN' và M'N cắt nhau tại điểm O là trung điểm của AB