Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao

a, Từ tam giác vuông ABC, ta có:
$\frac{AI}{AB} = \frac{AH}{AC}$
Vì tam giác ABC vuông tại A nên $AC = AB \cdot \sqrt{2}$
Do đó, $\frac{AI}{AB} = \frac{AH}{AB \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Từ tam giác vuông ABC, ta có:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AC}{AB} - \frac{CD}{AB} = \sqrt{2} - \frac{CD}{AB}$
Vì BD là phân giác góc B nên $\frac{CD}{AB} = \frac{BC}{AB}$
Do đó, $\frac{AD}{AB} = \sqrt{2} - \frac{BC}{AB}$

b, Ta có:
$\frac{IH}{BH} = \frac{AI}{AB}$
Vì $\frac{AI}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (đã tính ở câu a) nên $\frac{IH}{BH} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Từ tam giác vuông ABC, ta có:
$\frac{DC}{BC} = \frac{AC}{AB} - \frac{AD}{AB} = \sqrt{2} - \frac{AD}{AB}$
Vì $\frac{AD}{AB} = \sqrt{2} - \frac{BC}{AB}$ (đã tính ở câu a) nên $\frac{DC}{BC} = \sqrt{2} - (\sqrt{2} - \frac{BC}{AB}) = \frac{BC}{AB}$

Vậy tam giác AID cân tại A và $\frac{IH}{BH} = \frac{DC}{BC}$