Tìm tất cả các số tự nhiên n để p=1+2+2^2+...+2^2n-1 là số nguyên tố

Để tìm tất cả các số tự nhiên n để p=1+2+2^2+...+2^(2n-1) là số nguyên tố, ta có thể sử dụng công thức tổng của dãy số hình thành bởi cấp số nhân.

Công thức tổng của dãy số hình thành bởi cấp số nhân là:
S = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Ở đây, a = 1 là số hạng đầu tiên của dãy số, r = 2 là công bội của dãy số.

Áp dụng công thức trên vào biểu thức p, ta có:
p = 1 * (2^(2n) - 1) / (2 - 1)
= 2^(2n) - 1

Để p là số nguyên tố, ta cần kiểm tra xem 2^(2n) - 1 có phải là số nguyên tố hay không.

Theo định lý số nguyên tố Mersenne, nếu 2^n - 1 là số nguyên tố thì n cũng phải là số nguyên tố. Tuy nhiên, đây chỉ là một điều kiện cần, không phải điều kiện đủ.

Ví dụ: 2^3 - 1 = 7 là số nguyên tố, nhưng 3 không phải là số nguyên tố.

Vì vậy, để tìm tất cả các số tự nhiên n để p là số nguyên tố, ta cần kiểm tra xem n có phải là số nguyên tố và 2^(2n) - 1 có phải là số nguyên tố hay không.

Tuy nhiên, việc kiểm tra tính nguyên tố của một số lớn như 2^(2n) - 1 có thể rất phức tạp và tốn nhiều thời gian tính toán. Hiện tại, không có công thức chung để tìm tất cả các số tự nhiên n để p là số nguyên tố.

Do đó, để tìm tất cả các số tự nhiên n để p là số nguyên tố, ta cần sử dụng các phương pháp kiểm tra tính nguyên tố hiện có như sàng Eratosthenes hoặc sàng nguyên tố trên mạng.