Cho hai đường trong O và O' tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở M. gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC

a) Ta có góc AOB = 60 độ, vì OA = OB nên góc OAB = góc OBA = (180 - 60) / 2 = 60/2 = 30 độ.
Góc OAB = góc O'AC = 30 độ (do AB // O'C).
Góc O'CA = góc O'AC = 30 độ (do AC // O'B).
Góc O'CA = góc O'CB = (180 - 30) / 2 = 75 độ.
Góc O'BC = góc O'CB = 75 độ (do BC // O'A).
Góc O'BC = góc O'BA = (180 - 75) / 2 = 52.5 độ.
Góc O'BA = góc O'AB = 52.5 độ (do AB // O'C).
Góc O'AB = góc O'AC = (180 - 52.5) / 2 = 63.75 độ.
Góc O'AB = góc O'BC = 63.75 độ (do BC // O'A).
Góc O'BC = góc O'CB = (180 - 63.75) / 2 = 58.125 độ.
Góc O'CB = góc O'CA = 58.125 độ (do AC // O'B).
Góc O'CA = góc O'AC = (180 - 58.125) / 2 = 60.9375 độ.
Góc O'AC = góc O'AB = 60.9375 độ (do AB // O'C).

Vậy ta có các tam giác OAB và O'AC là tam giác đều.
Do đó, ta có AE = AB = AC = 18 cm.

b) Ta có góc O'AB = góc O'AC = 60.9375 độ (do AB // O'C).
Góc O'AC = góc O'BC = 60.9375 độ (do AC // O'B).
Góc O'BC = góc O'CB = 58.125 độ (do BC // O'A).
Góc O'CB = góc O'BA = 58.125 độ (do CB // O'A).
Góc O'BA = góc O'AB = 52.5 độ (do AB // O'C).
Góc O'AB = góc O'AC = 52.5 độ (do AC // O'B).

Vậy ta có các tam giác O'AB và O'AC là tam giác đều.
Do đó, OO' là đường trung trực của BC, nghĩa là OO' vuông góc với BC.
Vì BC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M, nên OO' cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M.
Tương tự, OO' cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O') tại M.
Vậy OO' là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và đường tròn (O').