Cho đường thẳng d1: y = (m-1) x-2 (m+2) với m ≠ 1 và d2: y=mx + (m² -1) (m≠0)

1. Để chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 không trùng nhau với mọi giá trị của m, ta cần chứng minh rằng hệ số góc của hai đường thẳng khác nhau.

Đường thẳng d1 có phương trình y = (m-1)x - 2(m+2), ta có hệ số góc của d1 là (m-1).

Đường thẳng d2 có phương trình y = mx + (m² - 1), ta có hệ số góc của d2 là m.

Để hai đường thẳng không trùng nhau, ta cần chứng minh rằng (m-1) ≠ m.

Giả sử (m-1) = m, ta có:
m - 1 = m
-1 = 0

Điều này là không đúng, vì vậy ta kết luận rằng (m-1) ≠ m.

Vậy, ta có thể kết luận rằng với mọi giá trị của m, hai đường thẳng d1 và d2 không trùng nhau.

2. a) Để d1 // d2, hai đường thẳng cần có cùng hệ số góc.

Hệ số góc của d1 là (m-1).
Hệ số góc của d2 là m.

Để d1 // d2, ta cần chứng minh rằng (m-1) = m.

Giải phương trình (m-1) = m, ta có:
m - 1 = m
-1 = 0

Điều này là không đúng, vì vậy ta kết luận rằng không có giá trị của m thỏa mãn d1 // d2.

b) Để d1 và d2 vuông góc, tích của hai hệ số góc bằng -1.

Hệ số góc của d1 là (m-1).
Hệ số góc của d2 là m.

Để d1 và d2 vuông góc, ta cần chứng minh rằng (m-1) * m = -1.

Giải phương trình (m-1) * m = -1, ta có:
m² - m = -1
m² - m + 1 = 0

Phương trình trên không có nghiệm thực, vì vậy không có giá trị của m thỏa mãn d1 và d2 vuông góc.

c) Để d1 và d2 cắt nhau, ta cần chứng minh rằng hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau.

Hệ số góc của d1 là (m-1).
Hệ số góc của d2 là m.

Để d1 và d2 cắt nhau, ta cần chứng minh rằng (m-1) ≠ m.

Giả sử (m-1) = m, ta có:
m - 1 = m
-1 = 0

Điều này là không đúng, vì vậy ta kết luận rằng (m-1) ≠ m.

Vậy, ta có thể kết luận rằng không có giá trị của m thỏa mãn d1 và d2 cắt nhau.