Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là một điểm nằm trên đường tròn, CH vuông góc AB tại H. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D

a) Ta có:
- Gọi M là trung điểm của BC.
- Vì BM là đường cao của tam giác ABC nên AM vuông góc với BC.
- Gọi N là trung điểm của AB.
- Vì BN là đường cao của tam giác ABC nên CN vuông góc với AB.
- Vì N là trung điểm của AB nên NM song song với AC.
- Vì M là trung điểm của BC nên NM song song với BH.
- Vậy NM vuông góc với AB và cắt AB tại H.
- Vậy OD vuông góc với BC (vì OD là đường phân giác của góc BOC và NM là đường phân giác của góc BHC).

b) Ta có:
- Gọi E' là giao điểm của CE và AB.
- Ta có CE.CB = C*A^2 (do đề bài cho).
- Ta có AH.AB = CH.CE' (do đường cao CH của tam giác ABC).
- Vậy CE.CB = AH.AB (vì CE = CE' và CB = CH).
- Vậy E' = E.
- Vậy CE.CB = AH.AB.

c) Ta có:
- Gọi I' là giao điểm của FC và AB.
- Ta có AI'.AE = AH.AB (do đường cao CH của tam giác ABC).
- Ta có AI'.AE = CE.CB (do b) đã chứng minh).
- Vậy AI'.AE = CE.CB.
- Vậy I' = I.
- Vậy FC là tiếp tuyến của đường tròn (O) (vì F nằm trên đường tròn (O) và FC đi qua trung điểm I của CH).