Cho tam giác ABC cân tại A đường trung tuyến AM (M thuộc BC ).gọi I là trung điểm của AC, lấy điểm K sao cho I là trung điểm của MK

a) Tứ giác AMCK là hình chữ nhật.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên đường trung tuyến AM là đường cao cũng như đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, ta có AM = MC.

Vì I là trung điểm của AC, nên AI = IC.

Vì I là trung điểm của MK, nên MI = IK.

Từ các điều trên, ta có:
AM = MC
AI = IC
MI = IK

Vậy, theo định nghĩa hình chữ nhật, tứ giác AMCK là hình chữ nhật.

b) Ta cần chứng minh AK || MB và AK = MB.

Vì AM = MC và AI = IC, nên tam giác AIC là tam giác cân tại I. Do đó, góc AIC = góc IAC = góc ICA.

Vì I là trung điểm của MK, nên góc MIK = góc MKI.

Vậy, góc AIC + góc MIK = góc ICA + góc MKI = 180°.

Từ đó, ta có:
góc AIC + góc MIK = 180°
góc AIC + góc BIC = 180° (vì góc MIK = góc BIC)

Vậy, tứ giác AKIB là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.

Do đó, ta có:
góc AKI = góc ABI (cùng nằm trên cùng một cung AB)
góc BAI = góc BCI (cùng nằm trên cùng một cung BC)

Vậy, góc AKI = góc ABI = góc BAI = góc BCI.

Từ đó, ta có:
AK || MB (do góc AKI = góc BCI)
AK = MB (do AK = AI + IK = AI + MI = AC + MC = AB + BC = MB)

Vậy, tứ giác AKMB là hình bình hành.