Để tìm điểm có định I mà đường thẳng (d) luôn đi qua mọi m, ta cần giải phương trình của (d) với một giá trị cố định của m. Phương trình của (d) là y = (m-1)x + m + 1.

1. Để tam giác OAB vuông cân, ta cần tìm m sao cho đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ O(0,0) và giao Ox tại điểm A và Oy tại điểm B. Điểm A có tọa độ (a, 0) và điểm B có tọa độ (0, b). Thay vào phương trình của (d), ta có:

0 = (m-1)a + m + 1
b = (m-1)0 + m + 1 = m + 1

Từ phương trình thứ nhất, ta có a = -(m+1)/(m-1). Thay vào phương trình thứ hai, ta có b = m + 1. Điểm I có tọa độ (a, b) là (-1, 1).

2. Để diện tích tam giác OAB bằng 9/2, ta sử dụng công thức diện tích tam giác:

Diện tích tam giác OAB = 1/2 * OA * OB = 1/2 * AB * OH

Trong đó, OH là đường cao của tam giác OAB. Đường cao OH chia tam giác OAB thành hai tam giác vuông cân. Gọi h là độ dài đường cao OH, ta có:

h = OA * sin(45°) = a * sin(45°) = a * sqrt(2)/2

Diện tích tam giác OAB = 1/2 * AB * OH = 1/2 * 2a * a * sqrt(2)/2 = a^2 * sqrt(2)/2

Điều kiện diện tích tam giác OAB = 9/2 là:

a^2 * sqrt(2)/2 = 9/2
a^2 = 9/sqrt(2)
a = 3/sqrt(2) = 3sqrt(2)/2

Thay a vào phương trình của (d), ta có:

0 = (m-1)(3sqrt(2)/2) + m + 1
0 = (3sqrt(2)m - 3sqrt(2) + 2m - 2 + 2)/2
0 = (5sqrt(2)m - 5sqrt(2))/2
5sqrt(2)m = 5sqrt(2)
m = 1

Vậy, để diện tích tam giác OAB bằng 9/2, ta cần m = 1.