a) Ta có:
- Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HK.
- Ta có HK // BC và HK = 2OM (do H là trực tâm của tam giác ABC và O là trung điểm của HK).
- Vậy ta có tam giác HKM đồng dạng với tam giác ABC và tỉ số đồng dạng là 1/2.
- Do đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cặp điểm: HI/HA = KM/BC = 1/2.
- Tương tự, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cặp điểm: IL/HB = MP/CA = 1/2 và LP/HC = MK/AB = 1/2.
- Từ đó suy ra tỉ số đồng dạng giữa các cặp điểm: HI/HA = IL/HB = LP/HC = 1/2.
- Vậy ta có tứ giác I,L,P,M nội tiếp đường tròn.

b) Ta có:
- Gọi O' là trung điểm của đoạn thẳng KL.
- Ta có KL // AB và KL = 2OK (do K là trung điểm của AB và O' là trung điểm của KL).
- Vậy ta có tam giác KLP đồng dạng với tam giác ABC và tỉ số đồng dạng là 1/2.
- Do đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cặp điểm: KP/KA = LP/LB = 1/2.
- Tương tự, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cặp điểm: KM/KA = MP/MB = 1/2 và MK/MA = KP/KB = 1/2.
- Từ đó suy ra tỉ số đồng dạng giữa các cặp điểm: KM/KA = KP/KB = MK/MA = 1/2.
- Vậy ta có tứ giác K,M,P,I nội tiếp đường tròn.

c) Ta có:
- Gọi O'' là trung điểm của đoạn thẳng MP.
- Ta có MP // AC và MP = 2O''N (do M là trung điểm của AC và O'' là trung điểm của MP).
- Vậy ta có tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC và tỉ số đồng dạng là 1/2.
- Do đó, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cặp điểm: MI/MA = NP/NC = 1/2.
- Tương tự, ta có tỉ số đồng dạng giữa các cặp điểm: MP/MB = NI/NA = 1/2 và PI/PB = NM/NA = 1/2.
- Từ đó suy ra tỉ số đồng dạng giữa các cặp điểm: MI/MA = MP/MB = PI/PB = 1/2.
- Vậy ta có tứ giác M,P,I,K nội tiếp đường tròn.