Để chứng minh rằng (2n+5)^2-25 chia hết cho 4 với mọi số nguyên n, ta cần chứng minh rằng (2n+5)^2-25 là một số chẵn.

Ta có: (2n+5)^2-25 = 4n^2 + 20n + 25 - 25 = 4n^2 + 20n

Để chứng minh rằng 4n^2 + 20n là một số chẵn, ta chia thành 2 trường hợp:

Trường hợp 1: n là số chẵn
Nếu n là số chẵn, ta có thể viết n = 2k, với k là số nguyên. Thay n = 2k vào 4n^2 + 20n, ta được:
4n^2 + 20n = 4(2k)^2 + 20(2k) = 16k^2 + 40k = 8k(2k + 5)

Vì k là số nguyên, nên 8k là một số chẵn. Vì vậy, 8k(2k + 5) là một số chẵn.

Trường hợp 2: n là số lẻ
Nếu n là số lẻ, ta có thể viết n = 2k + 1, với k là số nguyên. Thay n = 2k + 1 vào 4n^2 + 20n, ta được:
4n^2 + 20n = 4(2k + 1)^2 + 20(2k + 1) = 16k^2 + 32k + 4 + 40k + 20 = 16k^2 + 72k + 24 = 8(2k^2 + 9k + 3)

Vì k là số nguyên, nên 8(2k^2 + 9k + 3) là một số chẵn.

Từ cả hai trường hợp trên, ta thấy rằng 4n^2 + 20n là một số chẵn. Vì vậy, (2n+5)^2-25 chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.