Bài 1:
1. Ta có ƯCLN(a;b) = 8 và a + b = 32. Ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách tìm ước số chung lớn nhất của 32 và 8, ta được a = 24 và b = 8.

2. Ta có ƯCLN(a;b) = 8 và a.b = 192. Ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách tìm ước số chung lớn nhất của 192 và 8, ta được a = 16 và b = 12.

3. Ta có ƯCLN(a;b) = 15 và BCNN(a;b) = 300. Ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách tìm ước số chung lớn nhất của 300 và 15, ta được a = 75 và b = 225.

Bài 2:
a] Để (n+4) chia hết cho (n+1), ta có thể thử các giá trị của n. Khi n = 2, ta có (n+4) = 6 chia hết cho (n+1) = 3.

b] Để (n^2+2n-3) chia hết cho (n+1), ta có thể thử các giá trị của n. Khi n = 1, ta có (n^2+2n-3) = 0 chia hết cho (n+1) = 2.

c] Để (3n-1) chia hết cho (n-2), ta có thể thử các giá trị của n. Khi n = 1, ta có (3n-1) = 2 chia hết cho (n-2) = -1.

d] Để (3n+1) chia hết cho (2n-1), ta có thể thử các giá trị của n. Khi n = 1, ta có (3n+1) = 4 chia hết cho (2n-1) = 1.

Bài 3:
1] Ta có A = 7 + 7^2 + 7^3 + ... + 7^36. Ta thấy A là tổng của các số lũy thừa của 7, do đó A là số lẻ.

2] Ta có A = 7 + 7^2 + 7^3 + ... + 7^36. Ta thấy mỗi số lũy thừa của 7 đều chia hết cho 7, do đó A chia hết cho 7. Ta cũng thấy A chia hết cho 8 vì 7^2 chia hết cho 8. Cuối cùng, ta thấy A chia hết cho 19 vì 7^18 chia hết cho 19.

3] Để tìm chữ số tận cùng của A, ta chỉ cần lấy phần dư của A khi chia cho 10. Ta có A = 7 + 7^2 + 7^3 + ... + 7^36 = 7(1 + 7 + 7^2 + ... + 7^35). Ta biết rằng 7^k chia cho 10 sẽ có phần dư là 7 khi k là số lẻ và phần dư là 1 khi k là số chẵn. Vì vậy, tổng 1 + 7 + 7^2 + ... + 7^35 sẽ có phần dư là 1 khi chia cho 10. Do đó, chữ số tận cùng của A là 1.

Bài 4:
Để số có 3 chữ số đằng sau số 523 chia hết cho 6,7,8,9, ta cần tìm số chia hết cho 6,7,8,9 và có 3 chữ số đằng sau là số 523. Ta thấy số 523 chia hết cho 7 và 9, vì vậy ta chỉ cần tìm số chia hết cho 6 và 8. Số chia hết cho 6 và 8 là 24, vì vậy số cần tìm là 52324.

Bài 5:
Để tìm số nguyên tố p sao cho 2p^2 + 1 là hợp số, ta cần tìm một số nguyên tố p sao cho 2p^2 + 1 không là số nguyên tố. Ta thấy khi p = 2, ta có 2p^2 + 1 = 9 là hợp số. Vậy p = 2 là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề bài.